Prove que:
a)
;
a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos provar que a soma infinita
é igual a 1. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de séries numéricas e frações parciais, que nos ajudarão a simplificar a soma e encontrar o resultado final.
Passo 2
Vamos começar fatorando o denominador da fração
. Essa expressão pode ser fatorada da seguinte forma:
Passo 3
Agora, podemos decompôr a fração
em frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Para encontrar os valores de
e
, podemos substituir valores específicos de
que simplificam a equação. Vamos escolher
e
:
-
Para
: -
Para
:
Passo 5
Com os valores de
e
encontrados, a fração parcial fica:
Passo 6
Substituindo de volta na série original, temos:
Passo 7
Agora, observamos que a série é telescópica, o que significa que muitos termos se cancelam quando expandimos a soma. Vamos escrever os primeiros termos para visualizar isso:
Passo 8
Vemos que
,
, etc., se cancelam mutuamente. O que sobra é apenas o primeiro termo positivo e os termos negativos vão se anulando à medida que a série tende ao infinito.
Passo 9
Portanto, a soma da série é:
Resposta
A soma infinita
é igual a
.
Exercícios relacionados
Seja
. Determine
Calcule .
Calcule
Sabe-se que a p-série
converge se
e diverge se
. Assim, decida se a série dada é convergente ou divergente.
Prove que:
b)
b)
Se
e
são séries divergentes então podemos concluir que
também diverge? Justifique!!