Prove que:
a) sumn=1^infty 1n^2+3 n+2=1;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos provar que a soma infinita é igual a 1. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de séries numéricas e frações parciais, que nos ajudarão a simplificar a soma e encontrar o resultado final.

Passo 2

Vamos começar fatorando o denominador da fração n^2 + 3n + 2 = (n+1)(n+2) . Essa expressão pode ser fatorada da seguinte forma:

Passo 3

Agora, podemos decompôr a fração 1(n+1)(n+2) = An+1 + Bn+2 em frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes 1 = A(n+2) + B(n+1) e tais que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Para encontrar os valores de 1 = A(-2+2) + B(-2+1) Rightarrow 1 = A(0) + B(-1) Rightarrow B = -1 e 1 = A(-1+2) + B(-1+1) Rightarrow 1 = A(1) + B(0) Rightarrow A = 1 , podemos substituir valores específicos de que simplificam a equação. Vamos escolher e :
  1. Para :
  2. Para :

Passo 5

Com os valores de 1(n+1)(n+2) = 1n+1 - 1n+2 e encontrados, a fração parcial fica:

Passo 6

Substituindo de volta na série original, temos:
sumn=1^infty 1n^2 + 3n + 2 = sumn=1^infty ( 1n+1 - 1n+2 )

Passo 7

Agora, observamos que a série é telescópica, o que significa que muitos termos se cancelam quando expandimos a soma. Vamos escrever os primeiros termos para visualizar isso:
( 12 - 13 ) + ( 13 - 14 ) + ( 14 - 15 ) + dots

Passo 8

Vemos que , , etc., se cancelam mutuamente. O que sobra é apenas o primeiro termo positivo e os termos negativos vão se anulando à medida que a série tende ao infinito.

Passo 9

Portanto, a soma da série é:
limN to infty ( 12 - 1N+2 ) = 12 - 0 = 12

Resposta

A soma infinita é igual a .

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