Se sum an e sum bn são séries divergentes então podemos concluir que sum(an+bn) também diverge? Justifique!!

Passo 1

Vamos analisar a questão: Se as séries sum an e sum bn são divergentes, será que a série sum(an+bn) também diverge? Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de séries infinitas e propriedades de convergência e divergência.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa uma série ser divergente. Uma série sum cn é dita divergente se a soma dos seus termos não tende a um valor finito quando somamos infinitos termos. Ou seja, ela não se aproxima de nenhum número específico.

Passo 3

Sabemos que se duas séries são divergentes individualmente, isso não necessariamente implica que a soma delas também será divergente. Para entender isso, vamos considerar um exemplo simples.

Passo 4

Vamos escolher an = 1 para todo n, então sum an é a série 1 + 1 + 1 + dots, que claramente diverge porque a soma cresce sem limite. Agora, escolha bn = -1 para todo n, então sum bn é -1 -1 -1 - dots, que também diverge porque a soma se torna cada vez mais negativa sem limite.

Passo 5

Agora, somando an + bn = 1 + (-1) = 0 para todo n. Portanto, a série sum(an+bn) é 0 + 0 + 0 + dots, que converge para 0, ou seja, ela não diverge.

Resposta

Não, não podemos concluir que sum(an+bn) também diverge apenas porque sum an e sum bn são divergentes. É possível que a soma das duas séries resulte em uma série convergente.

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