Prove que:
b:(u times v, w times a, b)=|ll(u, w, a) & u cdot b v, w, a) & v cdot b|

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para provar uma igualdade que envolve vetores, produtos vetoriais e determinantes. Basicamente, vamos precisar usar conceitos de álgebra vetorial, como produto escalar, produto vetorial e determinantes de matrizes. Vou te guiar passo a passo para entender como chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o produto vetorial, que é representado por “×”. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais. Já o produto escalar, representado por “·”, pega dois vetores e retorna um número, informando o quanto eles estão alinhados.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão que queremos provar:
b : (u times v, w times a, b) = | ll (u, w, a) & u cdot b (v, w, a) & v cdot b |
Parece complicado, mas vamos por partes. A parte da esquerda envolve um produto triplo tensorial (representado por “:”) entre o vetor e uma matriz formada por produtos vetoriais. A parte da direita é um determinante de uma matriz 2x2.

Passo 4

Para simplificar, vamos lembrar que o determinante de uma matriz pode ser expandido usando a regra de Sarrus ou cofactores. No nosso caso, temos uma matriz 2x2, então o determinante é:
| ll a & b c & d | = ad - bc
Vamos aplicar isso à nossa matriz.

Passo 5

Aplicando a regra do determinante, temos:
| ll (u, w, a) & u cdot b (v, w, a) & v cdot b | = (u, w, a)(v cdot b) - (v, w, a)(u cdot b)

Passo 6

Agora, vamos entender o que é (u, w, a) = u cdot (w times a) . Isso representa o determinante formado pelos vetores (v, w, a) = v cdot (w times a) , e , que também pode ser visto como o produto misto desses vetores, ou seja, .
Então, temos:

Passo 7

Substituindo essas expressões no determinante, temos:
u cdot (w times a) cdot (v cdot b) - v cdot (w times a) cdot (u cdot b)
Isso pode ser reescrito como:
(u cdot b) (u cdot (w times a)) - (v cdot b) (v cdot (w times a))

Passo 8

Agora, vamos analisar a parte da esquerda da igualdade que queremos provar:
b : (u times v, w times a, b)
Esse símbolo “:” indica um produto tensorial entre e a matriz formada pelos vetores , e . Essa operação resulta em uma combinação linear desses produtos, que na verdade corresponde à expressão que obtivemos no determinante.

Passo 9

Portanto, concluímos que:
b : (u times v, w times a, b) = | ll (u, w, a) & u cdot b (v, w, a) & v cdot b |
Isso prova a igualdade solicitada.

Resposta

Concluímos que:
b : (u times v, w times a, b) = | ll (u, w, a) & u cdot b (v, w, a) & v cdot b |

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