Prove: (u, u+v, u+v+w)=(u, v, w).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores: u, v e w. A tarefa é provar que o determinante formado por (u, u+v, u+v+w) é igual ao determinante (u, v, w). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre determinantes e suas propriedades.

Passo 2

Lembrando que o determinante (a, b, c) representa o volume do paralelepípedo formado pelos vetores a, b e c. Uma propriedade importante dos determinantes é a linearidade em relação a cada uma das colunas, o que significa que podemos distribuir somas dentro das colunas.

Passo 3

Vamos focar no lado esquerdo da igualdade que queremos provar:
(u, u+v, u+v+w)
Vamos aplicar a propriedade de linearidade para expandir esse determinante.

Passo 4

Primeiro, vamos expandir a segunda coluna:
(u, u+v, u+v+w) = (u, u, u+v+w) + (u, v, u+v+w)

Passo 5

Agora, observe que se duas colunas de um determinante são iguais, o determinante é igual a zero. Portanto:
(u, u, u+v+w) = 0
Assim, restamos com:
(u, v, u+v+w)

Passo 6

Vamos expandir a terceira coluna desse determinante:
(u, v, u+v+w) = (u, v, u) + (u, v, v) + (u, v, w)

Passo 7

Mais uma vez, usando a propriedade de que determinantes com colunas iguais são zero, temos:
(u, v, u) = 0
(u, v, v) = 0
Portanto, sobra apenas:
(u, v, w)

Resposta

Concluímos que (u, u+v, u+v+w) = (u, v, w).

Exercícios relacionados