Prove:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores:
,
e
. A tarefa é provar que o determinante formado por
é igual ao determinante
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre determinantes e suas propriedades.
Passo 2
Lembrando que o determinante
representa o volume do paralelepípedo formado pelos vetores
,
e
. Uma propriedade importante dos determinantes é a linearidade em relação a cada uma das colunas, o que significa que podemos distribuir somas dentro das colunas.
Passo 3
Vamos focar no lado esquerdo da igualdade que queremos provar:
Vamos aplicar a propriedade de linearidade para expandir esse determinante.
Passo 4
Primeiro, vamos expandir a segunda coluna:
Passo 5
Agora, observe que se duas colunas de um determinante são iguais, o determinante é igual a zero. Portanto:
Assim, restamos com:
Passo 6
Vamos expandir a terceira coluna desse determinante:
Passo 7
Mais uma vez, usando a propriedade de que determinantes com colunas iguais são zero, temos:
Portanto, sobra apenas:
Resposta
Concluímos que
.