Sejam A B=(2,2,-2), A C=(2,1,-5), A D=(3,4,-1). Calcule volume e alturas de tetraedro A B C D.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um tetraedro ABCD definido pelas arestas AB, AC e AD. O objetivo é calcular o volume desse tetraedro e as alturas relacionadas a ele. Para isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, como produto vetorial e produto misto, que nos ajudarão a encontrar o volume e as alturas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um tetraedro a partir de três vetores que partem de um mesmo ponto. A fórmula para o volume V é dada pelo valor absoluto do produto misto desses três vetores dividido por 6:
V = |AB cdot (AC times AD)|6
O produto misto é uma operação que envolve o produto escalar e o produto vetorial, e nos dá o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial AC times AD. Seja:
AC = 2 1 -5 , AD = 3 4 -1
O produto vetorial é calculado assim:
AC times AD = i & j & k 2 & 1 & -5 3 & 4 & -1
Calculando o determinante:
i(1 cdot (-1) - (-5) cdot 4) - j(2 cdot (-1) - (-5) cdot 3) + k(2 cdot 4 - 1 cdot 3)
Simplificando:
i(-1 + 20) - j(-2 + 15) + k(8 - 3) = 19i - 13j + 5k
Então:
AC times AD = (19, -13, 5)

Passo 4

Agora vamos calcular o produto escalar AB cdot (AC times AD). Temos:
AB = 2 2 -2 , AC times AD = 19 -13 5
O produto escalar é:
AB cdot (AC times AD) = 2 cdot 19 + 2 cdot (-13) + (-2) cdot 5 = 38 - 26 - 10 = 2

Passo 5

Agora que temos o produto misto, podemos calcular o volume:
V = |2|6 = 26 = 13 , unidades cúbicas ú

Passo 6

Para encontrar as alturas do tetraedro, precisamos primeiro identificar a base que vamos considerar. Geralmente, escolhemos uma face como base e calculamos a altura em relação a essa base. Vamos escolher a face ABC como base.
Primeiro, calculamos a área da base ABC. A área de um triângulo formado por dois vetores AB e AC é dada por:
Área = 12 |AB times AC| Á
Vamos calcular o produto vetorial AB times AC.

Passo 7

Calculando o produto vetorial:
AB times AC = i & j & k 2 & 2 & -2 2 & 1 & -5
= i(2 cdot (-5) - (-2) cdot 1) - j(2 cdot (-5) - (-2) cdot 2) + k(2 cdot 1 - 2 cdot 2)
= i(-10 + 2) - j(-10 + 4) + k(2 - 4) = -8i + 6j - 2k
Então:
AB times AC = (-8, 6, -2)

Passo 8

Calculando a norma (magnitude) desse vetor:
|AB times AC| = raiz(-8)^2 + 6^2 + (-2)^2 = raiz64 + 36 + 4 = raiz104 = 2raiz26
Agora, a ��rea da base ABC é:
ÁreaABC = 12 times 2raiz26 = raiz26 Á

Passo 9

Sabemos que o volume do tetraedro também pode ser calculado pela fórmula:
V = 13 times Área da base times AÁ
Já temos V = 13 e ÁreaABC = raiz26Á. Vamos substituir na fórmula para encontrar a altura h:
13 = 13 times raiz26 times h
Cancelando 13 dos dois lados:
1 = raiz26 times h
Então:
h = 1raiz26 = raiz2626

Resposta

O volume do tetraedro ABCD é 13 unidades cúbicas e a altura correspondente à base ABC é raiz2626 unidades.

Exercícios relacionados