Sendo (u, v, w)=5, calcule (u-3 v+2 w,-u+v-w, v- 3 w ).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos que calcular o produto misto de três vetores modificados: . Sabemos que . Para resolver isso, vamos usar as propriedades do produto misto (também conhecido como produto triplo) e a linearidade desse produto em relação a cada um dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto misto é linear em cada um dos seus argumentos. Isso significa que podemos distribuir as operações de soma e multiplicação por escalar dentro do produto misto. Ou seja:
(au + bv + cw, A, B) = a(u, A, B) + b(v, A, B) + c(w, A, B)
E o mesmo vale para os outros vetores.

Passo 3

Vamos aplicar essa propriedade ao primeiro vetor (u - 3v + 2w, -u + v - w, v - 3w) = (u, -u + v - w, v - 3w) - 3(v, -u + v - w, v - 3w) + 2(w, -u + v - w, v - 3w) :

Passo 4

Agora, vamos calcular cada um desses produtos mistos separadamente. Lembrando que o produto misto é igual ao determinante formado pelas componentes dos vetores , e .
Sabemos que . Além disso, algumas combinações de vetores vão resultar em zero devido à propriedade de antissimetria do produto misto (trocar duas colunas inverte o sinal).

Passo 5

Calculando cada termo:
  1. (w, -u + v - w, v - 3w) = -(w, u, v - 3w) + (w, v, v - 3w) - (w, w, v - 3w) :
    • Essa expressão contém 2 times (-5) = -10 repetido, o que faz com que o produto misto seja zero.
  2. :
    • Novamente, temos repetido, resultando em zero.
  3. :
    • Aqui, temos três vetores distintos. Vamos calcular:
      • O primeiro termo: . O segundo parte é zero porque se repete.
      • O segundo termo: . Novamente, termos com vetores repetidos são zero.
      • O terceiro termo: Zero, pois se repete.
      • Portanto, restamos .
Multiplicando por 2:

Resposta

O valor do produto misto é .

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