Sendo
, calcule
).
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos que calcular o produto misto de três vetores modificados:
. Sabemos que
. Para resolver isso, vamos usar as propriedades do produto misto (também conhecido como produto triplo) e a linearidade desse produto em relação a cada um dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto misto é linear em cada um dos seus argumentos. Isso significa que podemos distribuir as operações de soma e multiplicação por escalar dentro do produto misto. Ou seja:
E o mesmo vale para os outros vetores.
Passo 3
Vamos aplicar essa propriedade ao primeiro vetor
:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada um desses produtos mistos separadamente. Lembrando que o produto misto
é igual ao determinante formado pelas componentes dos vetores
,
e
.
Sabemos que
. Além disso, algumas combinações de vetores vão resultar em zero devido à propriedade de antissimetria do produto misto (trocar duas colunas inverte o sinal).
Passo 5
Calculando cada termo:
-
: - Essa expressão contém
repetido, o que faz com que o produto misto seja zero.
- Essa expressão contém
-
: - Novamente, temos
repetido, resultando em zero.
- Novamente, temos
-
: - Aqui, temos três vetores distintos. Vamos calcular:
- O primeiro termo:
. O segundo parte é zero porque se repete. - O segundo termo:
. Novamente, termos com vetores repetidos são zero. - O terceiro termo: Zero, pois
se repete. - Portanto, restamos
.
- O primeiro termo:
- Aqui, temos três vetores distintos. Vamos calcular:
Multiplicando por 2:
Resposta
O valor do produto misto
é
.