Prove cada proposição usando a definição
de limite.
Passo 1
Então, a gente vai provar que o limite de uma função constante é igual ao próprio valor constante usando a definição de limite com
e
. Aqui, queremos mostrar que
. Para isso, vamos precisar entender como funciona essa definição de limite que envolve
(que representa a proximidade desejada no valor da função) e
(que representa a proximidade desejada no valor de
).
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição formal do limite usando
e
. Dizemos que
se, para todo
, existe um
tal que, sempre que
, então
.
Passo 3
No nosso caso, a função
é constante e igual a 1, ou seja,
. Queremos provar que o limite dessa função quando
se aproxima de 3 é 1. Então,
e
.
Passo 4
Vamos aplicar a definição: para todo
, precisamos encontrar um
tal que, se
, então
.
Passo 5
Como
para todo
, temos que
. Esse valor 0 é sempre menor que qualquer
que escolhermos.
Passo 6
Então, independente do valor de
, podemos escolher qualquer
, porque a condição
já é satisfeita automaticamente pela função constante.
Passo 7
Por exemplo, podemos simplesmente escolher
(ou qualquer outro número positivo). Assim, sempre que
, teremos
.
Resposta
Portanto, usando a definição de limite com
e
, provamos que
.