Prove cada proposição usando a definição varepsilon, de de limite.
lim x 3 1=1

Passo 1

Então, a gente vai provar que o limite de uma função constante é igual ao próprio valor constante usando a definição de limite com varepsilon e de. Aqui, queremos mostrar que lim x 3 1 = 1. Para isso, vamos precisar entender como funciona essa definição de limite que envolve varepsilon (que representa a proximidade desejada no valor da função) e de (que representa a proximidade desejada no valor de x).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição formal do limite usando varepsilon e de. Dizemos que limx to a f(x) = L se, para todo varepsilon > 0, existe um de 0 tal que, sempre que 0 < |x - a| < de, então |f(x) - L| < varepsilon.

Passo 3

No nosso caso, a função f(x) é constante e igual a 1, ou seja, f(x) = 1. Queremos provar que o limite dessa função quando x se aproxima de 3 é 1. Então, a = 3 e L = 1.

Passo 4

Vamos aplicar a definição: para todo varepsilon > 0, precisamos encontrar um de 0 tal que, se 0 < |x - 3| < de, então |f(x) - 1| < varepsilon.

Passo 5

Como f(x) = 1 para todo x, temos que |f(x) - 1| = |1 - 1| = 0. Esse valor 0 é sempre menor que qualquer varepsilon > 0 que escolhermos.

Passo 6

Então, independente do valor de varepsilon, podemos escolher qualquer de 0, porque a condição |f(x) - 1| < varepsilon já é satisfeita automaticamente pela função constante.

Passo 7

Por exemplo, podemos simplesmente escolher de (ou qualquer outro número positivo). Assim, sempre que 0 < |x - 3| < de, teremos |f(x) - 1| = 0 < varepsilon.

Resposta

Portanto, usando a definição de limite com varepsilon e de, provamos que lim x 3 1 = 1.

Exercícios relacionados