Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Passo 1
Vamos resolver o exercício: temos a função
e precisamos encontrar uma raiz dessa função com precisão de 0,005. Isso significa que queremos um valor de
que faça
igual a zero, ou está muito próximo disso, com uma margem de erro de 0,005. Para resolver isso, vamos utilizar o Método da Bissecção, que é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar um intervalo
onde a função
muda de sinal, ou seja, onde
e
têm sinais opostos. Isso indica, pelo Teorema de Bolzano, que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Vamos testar alguns valores:
-
Para
: -
Para
:
Como
e
, a função muda de sinal nesse intervalo (
a
), o que significa que existe uma raiz entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Método da Bissecção. Esse método funciona dividindo o intervalo ao meio e verificando em qual metade a função muda de sinal novamente. Vamos repetir esse processo até alcançarmos a precisão desejada.
Primeira iteração:
-
Calcular o ponto médio:
-
Calcular
:
Como
e
têm o mesmo sinal, a raiz está no intervalo
.
Segunda iteração:
-
Novo intervalo:
-
Calcular o ponto médio:
-
Calcular
:
Agora,
e
têm sinais opostos, então a raiz está no intervalo
.
Terceira iteração:
-
Novo intervalo:
-
Calcular o ponto médio:
-
Calcular
:
Como
e
têm sinais opostos, a raiz está no intervalo
.
Quarta iteração:
-
Novo intervalo:
-
Calcular o ponto médio:
-
Calcular
:
Agora,
e
têm sinais opostos, então a raiz está no intervalo
.
Quinta iteração:
-
Novo intervalo:
-
Calcular o ponto médio:
-
Calcular
:
Como
e
têm sinais opostos, a raiz está no intervalo
.
Sexta iteração:
-
Novo intervalo:
-
Calcular o ponto médio:
-
Calcular
:
Como
e
têm sinais opostos, a raiz está no intervalo
.
Sétima iteração:
-
Novo intervalo:
-
Calcular o ponto médio:
-
Calcular
:
Como
e
têm sinais opostos, a raiz está no intervalo
.
Oitava iteração:
-
Novo intervalo:
-
Calcular o ponto médio:
-
Calcular
:
Como
e
têm sinais opostos, a raiz está no intervalo
.
Nona iteração:
-
Novo intervalo:
-
Calcular o ponto médio:
-
Calcular
:
Agora,
e
têm sinais opostos, então a raiz está no intervalo
.
Resposta
A raiz aproximada da função
com precisão de 0,005 é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Prove que :
O conjunto não é limitado superiormente.
O conjunto
Calcule os limites abaixo.
Seja
, considere as sequências
e
tais que
Mostre que
e
têm o mesmo limite.
Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.