Seja . Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.

Passo 1

Vamos resolver o exercício: temos a função e precisamos encontrar uma raiz dessa função com precisão de 0,005. Isso significa que queremos um valor de que faça igual a zero, ou está muito próximo disso, com uma margem de erro de 0,005. Para resolver isso, vamos utilizar o Método da Bissecção, que é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, onde e têm sinais opostos. Isso indica, pelo Teorema de Bolzano, que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Vamos testar alguns valores:
  • Para :
  • Para :
Como e , a função muda de sinal nesse intervalo ( a ), o que significa que existe uma raiz entre e .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Método da Bissecção. Esse método funciona dividindo o intervalo ao meio e verificando em qual metade a função muda de sinal novamente. Vamos repetir esse processo até alcançarmos a precisão desejada.
Primeira iteração:
  • Calcular o ponto médio:
  • Calcular :
Como e têm o mesmo sinal, a raiz está no intervalo .
Segunda iteração:
  • Novo intervalo:
  • Calcular o ponto médio:
  • Calcular :
Agora, e têm sinais opostos, então a raiz está no intervalo .
Terceira iteração:
  • Novo intervalo:
  • Calcular o ponto médio:
  • Calcular :
Como e têm sinais opostos, a raiz está no intervalo .
Quarta iteração:
  • Novo intervalo:
  • Calcular o ponto médio:
  • Calcular :
Agora, e têm sinais opostos, então a raiz está no intervalo .
Quinta iteração:
  • Novo intervalo:
  • Calcular o ponto médio:
  • Calcular :
Como e têm sinais opostos, a raiz está no intervalo .
Sexta iteração:
  • Novo intervalo:
  • Calcular o ponto médio:
  • Calcular :
Como e têm sinais opostos, a raiz está no intervalo .
Sétima iteração:
  • Novo intervalo:
  • Calcular o ponto médio:
  • Calcular :
Como e têm sinais opostos, a raiz está no intervalo .
Oitava iteração:
  • Novo intervalo:
  • Calcular o ponto médio:
  • Calcular :
Como e têm sinais opostos, a raiz está no intervalo .
Nona iteração:
  • Novo intervalo:
  • Calcular o ponto médio:
  • Calcular :
Agora, e têm sinais opostos, então a raiz está no intervalo .

Resposta

A raiz aproximada da função com precisão de 0,005 é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Prove que :
O conjunto não é limitado superiormente.
Calcule os limites abaixo.
Seja , considere as sequências e tais que
Mostre que e têm o mesmo limite.
Seja . Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.