Suponha que
e
sejam conjuntos finitos tais que
. Prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão pede é mostrar que se temos dois conjuntos finitos,
e
, e
está dentro de
(ou seja,
), então o número de elementos em
é menor ou igual ao número de elementos em
. Estamos lidando com teoria dos conjuntos, especificamente com o conceito de cardinalidade (que é o número de elementos em um conjunto). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser subconjunto de outro e como comparar suas cardinalidades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Isso quer dizer que todo elemento de
também está em
. Por exemplo, se
e
, então
é um subconjunto de
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre cardinalidade. A cardinalidade de um conjunto, denotada por
, é simplesmente o número de elementos que o conjunto tem. No exemplo anterior,
e
.
Passo 4
Queremos provar que
. Para isso, vamos usar o fato de que como
está dentro de
, cada elemento de
corresponde a um único elemento em
. Não pode haver mais elementos em
do que em
, já que
está “contido” em
.
Passo 5
Vamos imaginar que contamos os elementos de
e os de
. Como
não tem elementos que não estão em
, a contagem de
não pode ultrapassar a de
. Portanto, o número de elementos em
é menor ou igual ao número de elementos em
.
Resposta
Assim, provamos que
.
Exercícios relacionados
Seja
. Mostre que
é finito, se e somente se, existir uma bijeção de
sobre um conjunto finito
.
Prove que o conjunto dos números naturais primos é infinito e enumerável.
Suponha que
e
sejam conjuntos finitos tais que
,
,
e que
e
. Prove que
é finito e que
.
Sejam
e
dois conjuntos.
Determine o número de injeções possíveis de em
.
Determine o número de injeções possíveis de