Suponha que e sejam conjuntos finitos tais que . Prove que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão pede é mostrar que se temos dois conjuntos finitos, e , e está dentro de (ou seja, ), então o número de elementos em é menor ou igual ao número de elementos em . Estamos lidando com teoria dos conjuntos, especificamente com o conceito de cardinalidade (que é o número de elementos em um conjunto). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser subconjunto de outro e como comparar suas cardinalidades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que todo elemento de também está em . Por exemplo, se e , então é um subconjunto de .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre cardinalidade. A cardinalidade de um conjunto, denotada por , é simplesmente o número de elementos que o conjunto tem. No exemplo anterior, e .

Passo 4

Queremos provar que . Para isso, vamos usar o fato de que como está dentro de , cada elemento de corresponde a um único elemento em . Não pode haver mais elementos em do que em , já que está “contido” em .

Passo 5

Vamos imaginar que contamos os elementos de e os de . Como não tem elementos que não estão em , a contagem de não pode ultrapassar a de . Portanto, o número de elementos em é menor ou igual ao número de elementos em .

Resposta

Assim, provamos que .

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Seja . Mostre que é finito, se e somente se, existir uma bijeção de sobre um conjunto finito .
Prove que o conjunto dos números naturais primos é infinito e enumerável.
Suponha que e sejam conjuntos finitos tais que , , e que e . Prove que é finito e que .
Sejam e dois conjuntos.
Determine o número de injeções possíveis de em .