ᄎ Prove que o conjunto dos números primos é enumerável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que o conjunto dos números primos é enumerável. Isso significa mostrar que podemos listar todos os números primos de maneira que cada um deles tenha uma posição na lista, sem faltar nenhum. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são números primos e o que significa um conjunto ser enumerável, que basicamente é ser contável ou ter a mesma “tamanho” que os números naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um número primo. Um número primo é aquele que tem exatamente dois divisores distintos: 1 e ele mesmo. Por exemplo, 2, 3, 5, 7 são primos.
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa que um conjunto é enumerável. Um conjunto é enumerável se podemos associar cada elemento dele a um número natural único (1, 2, 3, …). Isso quer dizer que podemos listar os elementos desse conjunto sem deixar nenhum de fora.
Passo 4
Sabemos que os números primos são infinitos, conforme o teorema de Euclides. Então, precisamos mostrar que mesmo sendo infinitos, podemos listá-los em uma sequência ordenada sem perder nenhum.
Passo 5
Vamos construir essa lista. Começamos com o menor número primo, que é 2, depois 3, depois 5, 7, 11, 13, e assim por diante. Cada vez que encontramos um novo número primo, ele recebe a próxima posição na lista.
Passo 6
Como conseguimos sempre encontrar o próximo número primo e atribuí-lo a um número natural sucessivo na lista, conseguimos associar cada primo a um número natural único. Isso mostra que os números primos são enumeráveis.
Resposta
Portanto, o conjunto dos números primos é enumerável porque podemos listá-los em sequência, associando cada primo a um número natural único.
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Usando o princípio de indução, prove que
(a) para todo
.
(b) para todo
.
© para todo
.
(d) para todo
.
(e) para todo
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Sejam
tal que
. Considere os números
definidos por
,
e
para
. Usando o princípio de indução forte, mostre que
para todo
.