Prove que a reta tangente a uma parábola intersepta a mesma apenas uma vez.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a reta tangente a uma parábola só cruza a própria parábola uma vez. Vamos trabalhar com geometria analítica, focando nas propriedades das parábolas e das retas tangentes. Precisaremos usar um pouco de álgebra e cálculo para essa prova.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma parábola. Uma parábola pode ser representada pela equação padrão . A reta tangente a essa parábola em um ponto específico toca a parábola apenas nesse ponto.

Passo 3

Vamos considerar que a reta tangente é dada por , onde é a inclinação e é o termo constante. Para encontrar os pontos de interseção entre a reta e a parábola, igualamos as duas equações:

Passo 4

Simplificando a equação, temos:
Essa é uma equação quadrática na forma . Para que a reta seja tangente à parábola, essa equação deve ter exatamente uma solução real.

Passo 5

A condição para que uma equação quadrática tenha uma única solução real é que o discriminante seja zero. O discriminante é dado por:
Para que haja apenas um ponto de interseção, devemos ter .

Passo 6

Então, igualando o discriminante a zero:
Isso confirma que a reta tangente à parábola só intersecta a parábola em um único ponto, já que a equação resultante tem uma única solução real.

Resposta

Assim, demonstramos que a reta tangente a uma parábola intersecta a mesma apenas uma vez.

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