Prove que a reta tangente a uma parábola intersepta a mesma apenas uma vez.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a reta tangente a uma parábola só cruza a própria parábola uma vez. Vamos trabalhar com geometria analítica, focando nas propriedades das parábolas e das retas tangentes. Precisaremos usar um pouco de álgebra e cálculo para essa prova.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma parábola. Uma parábola pode ser representada pela equação padrão
. A reta tangente a essa parábola em um ponto específico toca a parábola apenas nesse ponto.
Passo 3
Vamos considerar que a reta tangente é dada por
, onde
é a inclinação e
é o termo constante. Para encontrar os pontos de interseção entre a reta e a parábola, igualamos as duas equações:
Passo 4
Simplificando a equação, temos:
Essa é uma equação quadrática na forma
. Para que a reta seja tangente à parábola, essa equação deve ter exatamente uma solução real.
Passo 5
A condição para que uma equação quadrática tenha uma única solução real é que o discriminante seja zero. O discriminante
é dado por:
Para que haja apenas um ponto de interseção, devemos ter
.
Passo 6
Então, igualando o discriminante a zero:
Isso confirma que a reta tangente à parábola só intersecta a parábola em um único ponto, já que a equação resultante tem uma única solução real.
Resposta
Assim, demonstramos que a reta tangente a uma parábola intersecta a mesma apenas uma vez.
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;
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(a) para todo
.
(b) para todo
.
© para todo
.
(d) para todo
.
(e) para todo
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)