Prove que :
O conjunto dos números racionais não é limitado superiormente.

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos provar que o conjunto dos números racionais, , não é limitado superiormente. Isso significa que não existe um número real que seja um limite acima de todos os números racionais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser limitado superiormente e como os números racionais se comportam na reta numérica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um limite superior. Dizemos que um conjunto é limitado superiormente se existe um número tal que todo elemento de satisfaz . Nosso objetivo é mostrar que não existe tal para o conjunto .

Passo 3

Vamos supor, por contradição, que existe um limite superior para . Isso significa que todo número racional satisfaz . Mas sabemos que os números racionais são densos na reta numérica, ou seja, entre qualquer dois números reais, existe pelo menos um número racional.

Passo 4

Agora, vamos considerar um número racional qualquer que seja maior que . Podemos sempre encontrar um número racional , que também pertence a , já que a soma de números racionais é racional. Isso implica que , o que contraria a nossa suposição de que é um limite superior.

Passo 5

Como conseguimos encontrar sempre um número racional maior que qualquer que assumirmos como limite superior, isso significa que não existe nenhum número real que sirva como limite superior para todos os racionais.

Resposta

Portanto, provamos que o conjunto dos números racionais não é limitado superiormente.

Exercícios relacionados

Prove que :
O conjunto não é limitado superiormente.
Seja . Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
Seja . Provar que a equação possui uma única raiz real.
Prove que, usando definição, que se , então .