Prove que :
O conjunto dos números racionais Q não é limitado superiormente.

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos provar que o conjunto dos números racionais, Q, não é limitado superiormente. Isso significa que não existe um número real que seja um limite acima de todos os números racionais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser limitado superiormente e como os números racionais se comportam na reta numérica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um limite superior. Dizemos que um conjunto A é limitado superiormente se existe um número M tal que todo elemento a de A satisfaz . Nosso objetivo é mostrar que não existe tal M para o conjunto Q.

Passo 3

Vamos supor, por contradição, que existe um limite superior M para Q. Isso significa que todo número racional q satisfaz . Mas sabemos que os números racionais são densos na reta numérica, ou seja, entre qualquer dois números reais, existe pelo menos um número racional.

Passo 4

Agora, vamos considerar um número racional qualquer q que seja maior que M. Podemos sempre encontrar um número racional , que também pertence a Q, já que a soma de números racionais é racional. Isso implica que , o que contraria a nossa suposição de que M é um limite superior.

Passo 5

Como conseguimos encontrar sempre um número racional maior que qualquer M que assumirmos como limite superior, isso significa que não existe nenhum número real que sirva como limite superior para todos os racionais.

Resposta

Portanto, provamos que o conjunto dos números racionais Q não é limitado superiormente.

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