Prove que :
O conjunto dos números racionais
não é limitado superiormente.
O conjunto dos números racionais
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos provar que o conjunto dos números racionais,
, não é limitado superiormente. Isso significa que não existe um número real que seja um limite acima de todos os números racionais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser limitado superiormente e como os números racionais se comportam na reta numérica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um limite superior. Dizemos que um conjunto
é limitado superiormente se existe um número
tal que todo elemento
de
satisfaz
. Nosso objetivo é mostrar que não existe tal
para o conjunto
.
Passo 3
Vamos supor, por contradição, que existe um limite superior
para
. Isso significa que todo número racional
satisfaz
. Mas sabemos que os números racionais são densos na reta numérica, ou seja, entre qualquer dois números reais, existe pelo menos um número racional.
Passo 4
Agora, vamos considerar um número racional qualquer
que seja maior que
. Podemos sempre encontrar um número racional
, que também pertence a
, já que a soma de números racionais é racional. Isso implica que
, o que contraria a nossa suposição de que
é um limite superior.
Passo 5
Como conseguimos encontrar sempre um número racional maior que qualquer
que assumirmos como limite superior, isso significa que não existe nenhum número real que sirva como limite superior para todos os racionais.
Resposta
Portanto, provamos que o conjunto dos números racionais
não é limitado superiormente.
Exercícios relacionados
Prove que :
O conjunto não é limitado superiormente.
O conjunto
Seja
. Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
Seja
. Provar que a equação
possui uma única raiz real.
Prove que, usando definição, que se
, então
.