Prove que :
O conjunto Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} não é limitado superiormente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que o conjunto dos números inteiros, que inclui todos os números negativos, zero e positivos ( ), não tem um limite superior. Ou seja, não existe um número que seja maior ou igual a todos os inteiros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites superiores e propriedades dos números inteiros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser limitado superiormente. Um conjunto A é limitado superiormente se existe um número real M tal que todo elemento de A é menor ou igual a M. Nosso objetivo é mostrar que não existe tal M para o conjunto dos inteiros.

Passo 3

Vamos supor, para chegar a uma contradição, que existe um número M que seja um limite superior para Z. Isso significa que para todo número inteiro n, temos que .

Passo 4

Agora, vamos considerar o número . Como M é um número real, também é um número inteiro ou pode ser arredondado para um inteiro, dependendo de M. De qualquer forma, será maior que M.

Passo 5

Mas, se é um número inteiro maior que M, isso contraria nossa suposição inicial de que M era um limite superior para todos os inteiros, já que encontramos um inteiro ( ) que é maior que M.

Passo 6

Essa contradição mostra que nossa suposição de que existe um limite superior M para Z está errada. Portanto, não existe nenhum número que seja um limite superior para todos os inteiros.

Resposta

Assim, provamos que o conjunto Z não é limitado superiormente.

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