Prove que :
O conjunto
não é limitado superiormente.
O conjunto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que o conjunto dos números inteiros, que inclui todos os números negativos, zero e positivos (
), não tem um limite superior. Ou seja, não existe um número que seja maior ou igual a todos os inteiros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites superiores e propriedades dos números inteiros.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser limitado superiormente. Um conjunto
é limitado superiormente se existe um número real
tal que todo elemento de
é menor ou igual a
. Nosso objetivo é mostrar que não existe tal
para o conjunto dos inteiros.
Passo 3
Vamos supor, para chegar a uma contradição, que existe um número
que seja um limite superior para
. Isso significa que para todo número inteiro
, temos que
.
Passo 4
Agora, vamos considerar o número
. Como
é um número real,
também é um número inteiro ou pode ser arredondado para um inteiro, dependendo de
. De qualquer forma,
será maior que
.
Passo 5
Mas, se
é um número inteiro maior que
, isso contraria nossa suposição inicial de que
era um limite superior para todos os inteiros, já que encontramos um inteiro (
) que é maior que
.
Passo 6
Essa contradição mostra que nossa suposição de que existe um limite superior
para
está errada. Portanto, não existe nenhum número que seja um limite superior para todos os inteiros.
Resposta
Assim, provamos que o conjunto
não é limitado superiormente.
Exercícios relacionados
Seja
. Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Prove que :
O conjunto dos números racionais não é limitado superiormente.
O conjunto dos números racionais
Seja
. Provar que a equação
possui uma única raiz real.