Seja . Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A função que temos é e precisamos localizar a raiz dessa função em um intervalo de comprimento 0.5. Isso significa que queremos encontrar um intervalo onde a função cruza o eixo x (ou seja, onde ) e que a diferença entre os limites desse intervalo seja 0.5.

Passo 2

Para localizar a raiz, precisamos encontrar valores de onde a função muda de sinal, ou seja, onde é positivo e é negativo, ou vice-versa. Isso nos garante, pelo Teorema do Valor Intermediário, que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Vamos calcular para alguns valores de até encontrar dois pontos que satisfaçam essa condição. Por exemplo:
  • Para :
  • Para :

Passo 4

Observamos que e . Como um valor é negativo e o outro é positivo, pelo Teorema do Valor Intermediário, sabemos que existe pelo menos uma raiz entre e .

Passo 5

Agora, precisamos garantir que o intervalo que encontramos tenha comprimento 0.5. O intervalo entre 0 e 1 tem comprimento 1, então precisamos ajustá-lo para ter exatamente 0.5. Podemos escolher, por exemplo, os limites e .
Vamos verificar:
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Agora, temos e . Novamente, um valor é negativo e o outro é positivo, confirmando que há uma raiz no intervalo . Além disso, esse intervalo tem comprimento , que é exatamente o que a questão pede.

Resposta

A raiz da função está localizada no intervalo .

Exercícios relacionados

Seja . Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Prove que:
.
Prove que :
O conjunto não é limitado superiormente.
Prove que :
O conjunto dos números racionais não é limitado superiormente.