Seja
. Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A função que temos é
e precisamos localizar a raiz dessa função em um intervalo de comprimento 0.5. Isso significa que queremos encontrar um intervalo onde a função cruza o eixo x (ou seja, onde
) e que a diferença entre os limites desse intervalo seja 0.5.
Passo 2
Para localizar a raiz, precisamos encontrar valores de
onde a função muda de sinal, ou seja, onde
é positivo e
é negativo, ou vice-versa. Isso nos garante, pelo Teorema do Valor Intermediário, que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 3
Vamos calcular
para alguns valores de
até encontrar dois pontos que satisfaçam essa condição. Por exemplo:
- Para
: - Para
:
Passo 4
Observamos que
e
. Como um valor é negativo e o outro é positivo, pelo Teorema do Valor Intermediário, sabemos que existe pelo menos uma raiz entre
e
.
Passo 5
Agora, precisamos garantir que o intervalo que encontramos tenha comprimento 0.5. O intervalo entre 0 e 1 tem comprimento 1, então precisamos ajustá-lo para ter exatamente 0.5. Podemos escolher, por exemplo, os limites
e
.
Vamos verificar:
- Para
: - Para
:
Passo 6
Agora, temos
e
. Novamente, um valor é negativo e o outro é positivo, confirmando que há uma raiz no intervalo
. Além disso, esse intervalo tem comprimento
, que é exatamente o que a questão pede.
Resposta
A raiz da função
está localizada no intervalo
.
Exercícios relacionados
Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Prove que:
.
Prove que :
O conjunto não é limitado superiormente.
O conjunto
Prove que :
O conjunto dos números racionais não é limitado superiormente.
O conjunto dos números racionais