Prove que o conjunto dos polinômios com coeficientes inteiros é enumerável.
Passo 1
Ei! Vamos resolver juntos esse exercício que pede para provar que o conjunto dos polinômios com coeficientes inteiros é enumerável. Basicamente, isso significa que podemos listar todos esses polinômios de um jeito que cada um tenha uma posição na lista, assim como os números naturais. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre conjuntos enumeráveis e como os polinômios são formados a partir de coeficientes inteiros.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que significa um conjunto ser enumerável. Um conjunto é enumerável se podemos colocá-lo em uma sequência, ou seja, se conseguimos associar cada elemento do conjunto a um número natural único. Por exemplo, os números naturais, inteiros e racionais são todos conjuntos enumeráveis.
Passo 3
Agora, vamos olhar para os polinômios com coeficientes inteiros. Um polinômio pode ser escrito da forma:
onde cada
é um número inteiro e
é o grau do polinômio. Cada polinômio tem um número finito de coeficientes inteiros.
Passo 4
Sabemos que o conjunto dos números inteiros
é enumerável. Isso significa que podemos listar todos os inteiros em uma sequência infinita. Agora, considere que para cada grau
, o conjunto de polinômios de grau exatamente
com coeficientes inteiros também pode ser listado, já que é como um produto finito de conjuntos enumeráveis (cada coeficiente pode ser um inteiro).
Passo 5
Além disso, para cada grau
, temos uma quantidade finita de coeficientes. Isso significa que para cada
, o conjunto de polinômios de grau
é equivalente a
(pois há
coeficientes). Como produtos finitos de conjuntos enumeráveis continuam sendo enumeráveis, cada conjunto
é enumerável.
Passo 6
Finalmente, o conjunto de todos os polinômios com coeficientes inteiros é a união de todos esses conjuntos para cada grau
. Como estamos fazendo uma união contável (ou seja, uma união finita ou infinita enumerável) de conjuntos enumeráveis, o resultado também é um conjunto enumerável.
Resposta
Portanto, concluímos que o conjunto dos polinômios com coeficientes inteiros é enumerável.
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