Seja . Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa achar uma raiz dela, ou seja, um valor de que faça . Para isso, vamos usar um método numérico chamado Método da Bisseção, que é ótimo para encontrar raízes aproximadas quando a função muda de sinal em um intervalo. Vamos precisar escolher um intervalo inicial onde a função realmente cruza o eixo x e então ir afinando esse intervalo até chegarmos na precisão desejada, que nesse caso é 0.005.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar dois números, e , onde e têm sinais opostos. Isso garante que existe pelo menos uma raiz entre e (Pelo Teorema do Valor Intermediário). Vamos testar alguns valores:
  • Se :
  • Se :
  • Se :
Vemos que é aproximadamente -0.282 e é aproximadamente 3.389. Como os sinais são opostos, sabemos que há pelo menos uma raiz entre 1 e 2. Então, nosso intervalo inicial é .

Passo 3

Agora, vamos calcular o ponto médio desse intervalo:
é
Vamos avaliar a função nesse ponto:
Já que é positivo e é negativo, a raiz está entre 1 e 1.5. Nosso novo intervalo é .

Passo 4

Calcular o ponto médio do novo intervalo:
é
Avaliar a função:
Como é positivo e é negativo, a raiz está entre 1 e 1.25. Atualizamos o intervalo para .

Passo 5

Calcular o ponto médio:
é
Avaliar a função:
Agora, é negativo e é positivo, então a raiz está entre 1.125 e 1.25. O intervalo fica .

Passo 6

Calcular o ponto médio:
é
Avaliar a função:
Como é positivo e é negativo, a raiz está entre 1.125 e 1.1875. Atualizamos o intervalo para .

Passo 7

Calcular o ponto médio:
é
Avaliar a função:
Como é positivo e é negativo, a raiz está entre 1.125 e 1.15625. O intervalo fica .

Passo 8

Calcular o ponto médio:
é
Avaliar a função:
Agora, é negativo e é positivo, então a raiz está entre 1.140625 e 1.15625. Atualizamos o intervalo para .

Passo 9

Calcular o ponto médio:
é
Avaliar a função:
Como é negativo e é positivo, a raiz está entre 1.1484375 e 1.15625. Nosso intervalo agora é .

Passo 10

Vamos verificar a largura do intervalo:
Como 0.0078125 é maior que 0.005, precisamos de mais um passo.
Calcular o ponto médio:
é
Avaliar a função:
Como é negativo e é positivo, a raiz está entre 1.15234375 e 1.15625. A largura do intervalo agora é:
Isso é menor que 0.005, então paramos aqui.

Resposta

A raiz aproximada de com precisão 0.005 é .

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Prove que:
.
Seja . Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
Seja . Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
Prove que :
O conjunto não é limitado superiormente.