Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa achar uma raiz dela, ou seja, um valor de
que faça
. Para isso, vamos usar um método numérico chamado Método da Bisseção, que é ótimo para encontrar raízes aproximadas quando a função muda de sinal em um intervalo. Vamos precisar escolher um intervalo inicial onde a função realmente cruza o eixo x e então ir afinando esse intervalo até chegarmos na precisão desejada, que nesse caso é 0.005.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar dois números,
e
, onde
e
têm sinais opostos. Isso garante que existe pelo menos uma raiz entre
e
(Pelo Teorema do Valor Intermediário). Vamos testar alguns valores:
-
Se
: -
Se
: -
Se
:
Vemos que
é aproximadamente -0.282 e
é aproximadamente 3.389. Como os sinais são opostos, sabemos que há pelo menos uma raiz entre 1 e 2. Então, nosso intervalo inicial é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o ponto médio desse intervalo:
Vamos avaliar a função nesse ponto:
Já que
é positivo e
é negativo, a raiz está entre 1 e 1.5. Nosso novo intervalo é
.
Passo 4
Calcular o ponto médio do novo intervalo:
Avaliar a função:
Como
é positivo e
é negativo, a raiz está entre 1 e 1.25. Atualizamos o intervalo para
.
Passo 5
Calcular o ponto médio:
Avaliar a função:
Agora,
é negativo e
é positivo, então a raiz está entre 1.125 e 1.25. O intervalo fica
.
Passo 6
Calcular o ponto médio:
Avaliar a função:
Como
é positivo e
é negativo, a raiz está entre 1.125 e 1.1875. Atualizamos o intervalo para
.
Passo 7
Calcular o ponto médio:
Avaliar a função:
Como
é positivo e
é negativo, a raiz está entre 1.125 e 1.15625. O intervalo fica
.
Passo 8
Calcular o ponto médio:
Avaliar a função:
Agora,
é negativo e
é positivo, então a raiz está entre 1.140625 e 1.15625. Atualizamos o intervalo para
.
Passo 9
Calcular o ponto médio:
Avaliar a função:
Como
é negativo e
é positivo, a raiz está entre 1.1484375 e 1.15625. Nosso intervalo agora é
.
Passo 10
Vamos verificar a largura do intervalo:
Como 0.0078125 é maior que 0.005, precisamos de mais um passo.
Calcular o ponto médio:
Avaliar a função:
Como
é negativo e
é positivo, a raiz está entre 1.15234375 e 1.15625. A largura do intervalo agora é:
Isso é menor que 0.005, então paramos aqui.
Resposta
A raiz aproximada de
com precisão 0.005 é
.
Exercícios relacionados
Prove que:
.
Seja
. Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
Seja
. Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
Prove que :
O conjunto não é limitado superiormente.
O conjunto