As representações geométricas de z1, z2 e z3 no Plano Complexo são vértices de um triângulo equilátero com centro na origem. Se z1=1+i, determine z2 e z3.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem três números complexos, , e , que são os vértices de um triângulo equilátero no Plano Complexo. Além disso, o centro desse triângulo está na origem do plano. O que precisamos fazer é encontrar e sabendo que .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o centro de um triângulo é o ponto médio das coordenadas dos vértices. No Plano Complexo, isso significa que a média dos três números complexos deve ser igual à origem (0). Então, temos:
z1 + z2 + z33 = 0
Multiplicando ambos os lados por 3, fica:
z1 + z2 + z3 = 0
Como sabemos que 1 + i + z2 + z3 = 0 , podemos substituir na equação:
z2 + z3 = - (1 + i)
Isolando :

Passo 3

Agora, como o triângulo é equilátero, os vértices e são obtidos por rotações de em torno da origem. Especificamente, vamos rotacionar em 120° e 240° para encontrar e , respectivamente.
A rotação de um número complexo por um ângulo é feita multiplicando por , onde .

Passo 4

Vamos calcular theta = 120° = 2pi3 radianos rotacionando e^i2pi3 = cos(2pi3) + isin(2pi3) = -12 + iraiz32 em 120°:
z2 = z1 cdot e^i2pi3 = (1 + i)(-12 + iraiz32)
z2 = 1 cdot (-12) + 1 cdot (iraiz32) + i cdot (-12) + i cdot (iraiz32)
z2 = -12 + iraiz32 - i12 - raiz32
Multiplicando os termos:
z2 = -12 - raiz32 + i(raiz32 - 12)

Passo 5

Agora, vamos calcular theta = 240° = 4pi3 radianos rotacionando e^i4pi3 = cos(4pi3) + isin(4pi3) = -12 - iraiz32 em 240°:
z3 = z1 cdot e^i4pi3 = (1 + i)(-12 - iraiz32)
z3 = 1 cdot (-12) + 1 cdot (-iraiz32) + i cdot (-12) + i cdot (-iraiz32)
z3 = -12 - iraiz32 - i12 + raiz32
Multiplicando os termos:
z3 = -12 + raiz32 + i(-raiz32 - 12)

Resposta

Os números complexos que representam os vértices do triângulo equilátero são:
z2 = -12 - raiz32 + i(raiz32 - 12)
z3 = -12 + raiz32 + i(-raiz32 - 12)

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