As representações geométricas de
e
no Plano Complexo são vértices de um triângulo equilátero com centro na origem.
, determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem três números complexos,
,
e
, que são os vértices de um triângulo equilátero no Plano Complexo. Além disso, o centro desse triângulo está na origem do plano. O que precisamos fazer é encontrar
e
sabendo que
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o centro de um triângulo é o ponto médio das coordenadas dos vértices. No Plano Complexo, isso significa que a média dos três números complexos deve ser igual à origem (0). Então, temos:
Multiplicando ambos os lados por 3, fica:
Como sabemos que
, podemos substituir na equação:
Isolando
:
Passo 3
Agora, como o triângulo é equilátero, os vértices
e
são obtidos por rotações de
em torno da origem. Especificamente, vamos rotacionar
em 120° e 240° para encontrar
e
, respectivamente.
A rotação de um número complexo
por um ângulo
é feita multiplicando
por
, onde
.
Passo 4
Vamos calcular
rotacionando
em 120°:
Multiplicando os termos:
Passo 5
Agora, vamos calcular
rotacionando
em 240°:
Multiplicando os termos:
Resposta
Os números complexos que representam os vértices do triângulo equilátero são:
Exercícios relacionados
Se
é um ângulo do
quadrante e
, calcule
e
.
Seja
a. Determine o menor inteiro positivo tal que
é negativo.
a. Determine o menor
As representações no Plano Complexo de
são vértices consecutivos de um quadrado. Se
e
, determine
e
sabendo que
.
a. Prove que
e
.