Resolver as seguintes integrais:

SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente usando substituição trigonométrica. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado no denominador e aplicar uma substituição trigonométrica apropriada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão no denominador . Para facilitar a substituição, é uma boa ideia reescrever esse polinômio completando o quadrado.
Reescrevendo:
Vamos completar o quadrado para a expressão quadrática:
Agora, completamos o quadrado para :
Substituindo de volta:
Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, nossa integral fica:
Esse formato lembra a estrutura , que é ideal para substituição trigonométrica. Vamos fazer a seguinte substituição:
Onde , já que .

Passo 4

Com a substituição , calculamos :
Substituindo na integral:
Simplificando:
Então, a integral fica:

Passo 5

A integral de é uma das integrais básicas:
Então, substituindo de volta:
Agora, lembrando nossa substituição inicial , podemos desenhar um triângulo retângulo para expressar .
No triângulo:
  • Ocateto oposto a é .
  • A hipotenusa é .
  • Ocateto adjacente é .
Então,

Resposta

A integral é igual a .

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.
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SUBSTITUÇÃã

.
Prove que:
.
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