Resolver as seguintes integrais:

SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

integral d t(5-4 t-t^2)^3 / 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente usando substituição trigonométrica. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado no denominador e aplicar uma substituição trigonométrica apropriada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão no denominador 5 - 4t - t^2 = -t^2 -4t +5 . Para facilitar a substituição, é uma boa ideia reescrever esse polinômio completando o quadrado.
Reescrevendo:
-t^2 -4t +5 = -(t^2 +4t) +5
Vamos completar o quadrado para a expressão quadrática:
t^2 +4t = (t + 2)^2 - 4
Agora, completamos o quadrado para -t^2 -4t +5 = -((t + 2)^2 -4) +5 = -(t + 2)^2 +4 +5 = -(t + 2)^2 +9 :
5 - 4t - t^2 = 9 - (t + 2)^2
Substituindo de volta:
Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, nossa integral fica:
integral dt(9 - (t + 2)^2)^3/2
Esse formato lembra a estrutura t + 2 = 3 sin theta , que é ideal para substituição trigonométrica. Vamos fazer a seguinte substituição:
Onde , já que .

Passo 4

Com a substituição dt = 3 cos theta , dtheta , calculamos integral 3 cos theta , dtheta(9 - 9 sin^2 theta)^3/2 = integral 3 cos theta , dtheta(9(1 - sin^2 theta))^3/2 = integral 3 cos theta , dtheta9^3/2 cos^3 theta :
9^3/2 = 27 e 3 cos theta27 cos^3 theta = 19 cos^2 theta
Substituindo na integral:
19 integral sec^2 theta , dtheta
Simplificando:
Então, a integral fica:

Passo 5

A integral de integral sec^2 theta , dtheta = tan theta + C é uma das integrais básicas:
19 tan theta + C
Então, substituindo de volta:
tan theta = t + 2raiz9 - (t + 2)^2
Agora, lembrando nossa substituição inicial , podemos desenhar um triângulo retângulo para expressar .
No triângulo:
  • Ocateto oposto a é .
  • A hipotenusa é .
  • Ocateto adjacente é .
Então,

Resposta

A integral é igual a .

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