Resolver as seguintes integrais:
SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente usando substituição trigonométrica. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado no denominador e aplicar uma substituição trigonométrica apropriada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão no denominador
. Para facilitar a substituição, é uma boa ideia reescrever esse polinômio completando o quadrado.
Reescrevendo:
Vamos completar o quadrado para a expressão quadrática:
Agora, completamos o quadrado para
:
Substituindo de volta:
Então, a expressão fica:
Passo 3
Agora, nossa integral fica:
Esse formato lembra a estrutura
, que é ideal para substituição trigonométrica. Vamos fazer a seguinte substituição:
Onde
, já que
.
Passo 4
Com a substituição
, calculamos
:
Substituindo na integral:
Simplificando:
Então, a integral fica:
Passo 5
A integral de
é uma das integrais básicas:
Então, substituindo de volta:
Agora, lembrando nossa substituição inicial
, podemos desenhar um triângulo retângulo para expressar
.
No triângulo:
- Ocateto oposto a
é . - A hipotenusa é
. - Ocateto adjacente é
.
Então,
Resposta
A integral é igual a
.
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Prove que:
.
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