Prove que
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Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa provar que a derivada da energia de Helmholtz, representada por $ A $, é igual a $ -S , dT + P , dV $. Aqui, $ S $ é a entropia, $ T $ é a temperatura, $ P $ é a pressão e $ V $ é o volume. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre termodinâmica, especialmente as relações entre as diferentes funções termodinâmicas e seus diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a energia de Helmholtz. A energia de Helmholtz $ A $ é definida como:
Onde $ U $ é a energia interna do sistema. Essa função é útil quando a temperatura $ T $ e o volume $ V $ são mantidos constantes.
Passo 3
Agora, vamos calcular o diferencial de $ A $, ou seja, $ dA $. Para isso, vamos diferenciar a expressão da energia de Helmholtz em relação às suas variáveis.
Passo 4
Aplicando a regra do produto na segunda parte da expressão, temos:
Aqui, $ dU $ é a variação da energia interna, $ dS $ é a variação da entropia e $ dT $ é a variação da temperatura.
Passo 5
Segundo a primeira lei da termodinâmica, a variação da energia interna $ dU $ é dada por:
Onde $ P $ é a pressão e $ dV $ é a variação do volume.
Passo 6
Substituindo a expressão de $ dU $ na equação de $ dA $, temos:
Passo 7
Simplificando a expressão, os termos $ T , dS $ se cancelam:
Resposta
Assim, mostramos que o diferencial da energia de Helmholtz é $ dA = -S , dT + P , dV $.