Prove que d A=-S d T+P d V.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa provar que a derivada da energia de Helmholtz, representada por $ A $, é igual a $ -S , dT + P , dV $. Aqui, $ S $ é a entropia, $ T $ é a temperatura, $ P $ é a pressão e $ V $ é o volume. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre termodinâmica, especialmente as relações entre as diferentes funções termodinâmicas e seus diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a energia de Helmholtz. A energia de Helmholtz $ A $ é definida como:
A
Onde $ U $ é a energia interna do sistema. Essa função é útil quando a temperatura $ T $ e o volume $ V $ são mantidos constantes.

Passo 3

Agora, vamos calcular o diferencial de $ A $, ou seja, $ dA $. Para isso, vamos diferenciar a expressão da energia de Helmholtz em relação às suas variáveis.
A

Passo 4

Aplicando a regra do produto na segunda parte da expressão, temos:
dA = dU - T , dS - S , dT
Aqui, $ dU $ é a variação da energia interna, $ dS $ é a variação da entropia e $ dT $ é a variação da temperatura.

Passo 5

Segundo a primeira lei da termodinâmica, a variação da energia interna $ dU $ é dada por:
dU
Onde $ P $ é a pressão e $ dV $ é a variação do volume.

Passo 6

Substituindo a expressão de $ dU $ na equação de $ dA $, temos:
dU

Passo 7

Simplificando a expressão, os termos $ T , dS $ se cancelam:
T , dS

Resposta

Assim, mostramos que o diferencial da energia de Helmholtz é $ dA = -S , dT + P , dV $.

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