Resolva os limites abaixo:

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício faz parte do conteúdo de cálculo de limites em funções racionais. Para resolver, vamos precisar verificar se podemos substituir diretamente o valor ou se precisamos simplificar a expressão, possivelmente usando a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na função para ver o que acontece:
Numerador:
Denominador:
Encontramos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos usar outra estratégia para encontrar o limite.

Passo 3

Quando substituímos diretamente e obtivemos , podemos aplicar a Regra de L’Hôpital. Essa regra nos diz que, se o limite de resulta em ou , então podemos calcular o limite das derivadas:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador:
Derivada do numerador :
Derivada do denominador :

Passo 5

Agora, substituímos as derivadas no limite:
Vamos substituir :
Numerador:
Denominador:

Resposta

Portanto, o limite é .

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Seja . Verifique a continuidade de em . No caso de ser descontínua verifique a possibilidade de torná-la contínua.
Prove que .
Resolva os limites abaixo:
Prove por indução matemática que se , então .