Seja f(x)=llbracket x rrbracket a função maior inteiro. Para quais valores de a existe lim x a f(x) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar a função , que é a função maior inteiro, ou seja, ela dá o maior inteiro menor ou igual a . A gente precisa descobrir para quais valores de existe o limite . Vamos usar conceitos de limites e entender como a função se comporta perto de cada ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o limite existe se o limite à esquerda ( chegando por valores menores que ) for igual ao limite à direita ( chegando por valores maiores que ). Então, precisamos analisar esses dois limites separadamente.

Passo 3

Vamos calcular o limite à esquerda: . Quando se aproxima de vindo pela esquerda, será igual a , porque é o maior inteiro menor que .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite à direita: . Quando se aproxima de vindo pela direita, será igual a , j�� que agora já passou de .

Passo 5

Para que o limite geral exista, esses dois limites laterais precisam ser iguais. Ou seja, . Mas veja só, isso só acontece se , o que não é possível para nenhum . Portanto, o limite só existe se não houver essa “quebra” na função.

Passo 6

A função só muda de valor quando é um número inteiro. Nesses pontos inteiros, há uma descontinuidade, ou seja, os limites à esquerda e à direita são diferentes. Fora desses pontos, a função é constante e contínua, então o limite existe.

Resposta

O limite existe para todos os valores de que não são inteiros.

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