Seja
a função maior inteiro. Para quais valores de
existe
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar a função
, que é a função maior inteiro, ou seja, ela dá o maior inteiro menor ou igual a
. A gente precisa descobrir para quais valores de
existe o limite
. Vamos usar conceitos de limites e entender como a função se comporta perto de cada ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o limite
existe se o limite à esquerda (
chegando por valores menores que
) for igual ao limite à direita (
chegando por valores maiores que
). Então, precisamos analisar esses dois limites separadamente.
Passo 3
Vamos calcular o limite à esquerda:
. Quando
se aproxima de
vindo pela esquerda,
será igual a
, porque é o maior inteiro menor que
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite à direita:
. Quando
se aproxima de
vindo pela direita,
será igual a
, j�� que agora
já passou de
.
Passo 5
Para que o limite geral exista, esses dois limites laterais precisam ser iguais. Ou seja,
. Mas veja só, isso só acontece se
, o que não é possível para nenhum
. Portanto, o limite só existe se não houver essa “quebra” na função.
Passo 6
A função
só muda de valor quando
é um número inteiro. Nesses pontos inteiros, há uma descontinuidade, ou seja, os limites à esquerda e à direita são diferentes. Fora desses pontos, a função é constante e contínua, então o limite existe.
Resposta
O limite
existe para todos os valores de
que não são inteiros.
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Calcule os limites laterais:
onde
Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton: derivada de
no ponto
Seja
: Esboce o gráfico de
Prove pela definição que as seguintes funções são contínuas nos pontos especificados:
a) em
a)