Sejam
e
funções.
Mostre que se
for sobrejetora, então,
é sobrejetora.
Mostre que se
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções:
A composição dessas funções é
. O enunciado nos diz que essa composição é sobrejetora, e queremos mostrar que isso implica que
também é sobrejetora.
Aqui, estamos trabalhando com os conceitos de função sobrejetora (ou sobre), que significa que para todo elemento no conjunto de chegada, existe pelo menos um elemento no conjunto de partida que mapeia para ele.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser sobrejetora. Uma função
é sobrejetora se, para todo
, existe pelo menos um
tal que
.
Passo 3
Sabemos que
é sobrejetora. Isso significa que para todo
, existe algum
tal que:
Passo 4
A partir da igualdade
, podemos ver que
é um elemento de
. Vamos chamar
. Então temos:
Passo 5
Isso mostra que para todo
, existe um
(especificamente,
para algum
) tal que
.
Passo 6
Essa é exatamente a definição de
ser sobrejetora. Portanto, concluímos que se
é sobrejetora, então
também é sobrejetora.
Resposta
Portanto, mostramos que se a composição
é sobrejetora, então a função
também é sobrejetora.
Exercícios relacionados
Seja
uma função e assuma que
.
Mostre que se for sobrejetora, então,
.
Mostre que se
Seja
uma função e assuma que
.
Mostre que a identidade não é necessariamente obtida.
Mostre que a identidade
Prove a desigualdade de Bernoulli: dado
, para todo
vale
Sejam os números
definidos do seguinte modo:
e
para todo
. Use o Princípio da Indução Forte para mostrar que
para todo
.