Seja E o sólido limitado acima pela esfera x^2+y^2+z^2=4 e abaixo pelo cone z=raizx^2+y^2, com x >= 0 e y >= 0. Escreva a integral integral triplaE(x+y^2-z) d V nas coordenadas:
(a) esféricas.

Passo 1

Então, galera! A gente tem um exercício que envolve calcular uma integral tripla sobre um sólido . Esse é limitado por uma esfera na parte de cima e por um cone na parte de baixo, considerando apenas onde e . A matéria que vamos usar aqui é cálculo multivariável, especificamente integrais triplas em coordenadas esféricas. Vamos precisar mudar para essas coordenadas para facilitar o cálculo da integral .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a mudança para coordenadas esféricas. Nessa mudança, a posição de um ponto no espaço é dada por três parâmetros: x = rho sinphi costheta, (a distância do ponto até a origem), y = rho sinphi sintheta, (o ângulo no plano z = rho cosphi a partir do eixo dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta ) e (o ângulo a partir do eixo ). As relações entre coordenadas cartesianas e esféricas são:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 3

Agora, vamos expressar a função integranda x = rho sinphi costheta, em coordenadas esféricas usando as fórmulas que acabamos de lembrar:
y^2 = (rho sinphi sintheta)^2 = rho^2 sin^2phi sin^2theta,
z = rho cosphi
x + y^2 - z = rho sinphi costheta + rho^2 sin^2phi sin^2theta - rho cosphi
Então, a função fica:

Passo 4

Vamos agora determinar os limites de integração para rho cosphi = rho sinphi implies tanphi = 1 implies phi = pi4 , e .
  • : Variável radial que vai do ponto no cone até a superfície da esfera. A esfera tem raio 2 (pois ), então varia de 0 a 2.
  • : Ângulo do eixo até o ponto. O cone pode ser reescrito em esféricas como:
Então, varia de 0 a .
  • : Como e , estamos no primeiro quadrante do plano , então vai de 0 a .

Passo 5

Com tudo isso, podemos escrever a integral tripla em coordenadas esféricas:
integral triplaE(x + y^2 - z) dV = integral0^pi2 integral0^pi4 integral0^2 (rho sinphi costheta + rho^2 sin^2phi sin^2theta - rho cosphi) rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta

Resposta

A integral tripla no sistema de coordenadas esféricas fica:
integral0^pi2 integral0^pi4 integral0^2 (rho sinphi costheta + rho^2 sin^2phi sin^2theta - rho cosphi) rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta

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