Seja E o sólido limitado acima pela esfera
e abaixo pelo cone
, com
e
. Escreva a integral
nas coordenadas:
(a) esféricas.
(a) esféricas.
Passo 1
Então, galera! A gente tem um exercício que envolve calcular uma integral tripla sobre um sólido
. Esse
é limitado por uma esfera
na parte de cima e por um cone
na parte de baixo, considerando apenas onde
e
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo multivariável, especificamente integrais triplas em coordenadas esféricas. Vamos precisar mudar para essas coordenadas para facilitar o cálculo da integral
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a mudança para coordenadas esféricas. Nessa mudança, a posição de um ponto no espaço é dada por três parâmetros:
(a distância do ponto até a origem),
(o ângulo no plano
a partir do eixo
) e
(o ângulo a partir do eixo
). As relações entre coordenadas cartesianas e esféricas são:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 3
Agora, vamos expressar a função integranda
em coordenadas esféricas usando as fórmulas que acabamos de lembrar:
Então, a função fica:
Passo 4
Vamos agora determinar os limites de integração para
,
e
.
-
: Variável radial que vai do ponto no cone até a superfície da esfera. A esfera tem raio 2 (pois ), então varia de 0 a 2. -
: Ângulo do eixo até o ponto. O cone pode ser reescrito em esféricas como:
Então,
varia de 0 a
.
-
: Como e , estamos no primeiro quadrante do plano , então vai de 0 a .
Passo 5
Com tudo isso, podemos escrever a integral tripla em coordenadas esféricas:
Resposta
A integral tripla no sistema de coordenadas esféricas fica:
Exercícios relacionados
Seja
o sólido limitado acima pela esfera
e abaixo pelo cone
. Escreva o volume de
em termos de integral dupla nas seguintes coordenadas: (Não precisa resolver a integral!!)
a) Coordenadas Cartesianas (Retangulares).
a) Coordenadas Cartesianas (Retangulares).
Relacione as funções abaixo aos seus respectivos gráficos e curvas de nível:
Seja E o sólido limitado acima pela esfera
e abaixo pelo cone
, com
e
. Escreva a integral
nas coordenadas:
(b) cilíndricas.
(b) cilíndricas.
Prove a desigualdade triangular: