Seja E o sólido limitado acima pela esfera e abaixo pelo cone , com e . Escreva a integral nas coordenadas:
(a) esféricas.

Passo 1

Então, galera! A gente tem um exercício que envolve calcular uma integral tripla sobre um sólido . Esse é limitado por uma esfera na parte de cima e por um cone na parte de baixo, considerando apenas onde e . A matéria que vamos usar aqui é cálculo multivariável, especificamente integrais triplas em coordenadas esféricas. Vamos precisar mudar para essas coordenadas para facilitar o cálculo da integral .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a mudança para coordenadas esféricas. Nessa mudança, a posição de um ponto no espaço é dada por três parâmetros: (a distância do ponto até a origem), (o ângulo no plano a partir do eixo ) e (o ângulo a partir do eixo ). As relações entre coordenadas cartesianas e esféricas são:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 3

Agora, vamos expressar a função integranda em coordenadas esféricas usando as fórmulas que acabamos de lembrar:
Então, a função fica:

Passo 4

Vamos agora determinar os limites de integração para , e .
  • : Variável radial que vai do ponto no cone até a superfície da esfera. A esfera tem raio 2 (pois ), então varia de 0 a 2.
  • : Ângulo do eixo até o ponto. O cone pode ser reescrito em esféricas como:
Então, varia de 0 a .
  • : Como e , estamos no primeiro quadrante do plano , então vai de 0 a .

Passo 5

Com tudo isso, podemos escrever a integral tripla em coordenadas esféricas:

Resposta

A integral tripla no sistema de coordenadas esféricas fica:

Exercícios relacionados

Seja o sólido limitado acima pela esfera e abaixo pelo cone . Escreva o volume de em termos de integral dupla nas seguintes coordenadas: (Não precisa resolver a integral!!)
a) Coordenadas Cartesianas (Retangulares).
Relacione as funções abaixo aos seus respectivos gráficos e curvas de nível:
Seja E o sólido limitado acima pela esfera e abaixo pelo cone , com e . Escreva a integral nas coordenadas:
(b) cilíndricas.
Prove a desigualdade triangular: