Prove que (Dica: Após aplicar a definição da derivada somar e subtrair ao numerador
Passo 1
Então, a gente tem um exercício onde precisamos provar uma coisa usando a definição de derivada. Pelo que entendi, a dica sugere que, ao usar a definição da derivada, a gente deve somar e subtrair
no numerador. Vamos precisar saber sobre derivadas e a definição delas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da derivada de uma função. A derivada de
é dada por:
No nosso caso, queremos provar a regra do produto, ou seja, se
, então:
Passo 3
Vamos aplicar a definição da derivada para
:
Passo 4
A dica sugere que a gente some e subtraia
no numerador. Então, fazemos isso:
Isso é válido porque estamos adicionando e subtraindo a mesma coisa, o que não muda o valor.
Passo 5
Agora, vamos reorganizar os termos para facilitar:
Podemos dividir esse termo em duas partes:
Passo 6
Vamos então separar os termos:
Isso pode ser escrito como:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites separadamente:
Aqui usamos o fato de que
e as definições das derivadas de
e
.
Resposta
Portanto, provamos que a derivada do produto de duas funções é dada por:
Exercícios relacionados
Encontre
e
da função
.
Encontre a derivada da função
.
Prove que
.
Utilizando a definição da derivada, encontre
se
.