Prove que (Dica: Após aplicar a definição da derivada somar e subtrair ao numerador

Passo 1

Então, a gente tem um exercício onde precisamos provar uma coisa usando a definição de derivada. Pelo que entendi, a dica sugere que, ao usar a definição da derivada, a gente deve somar e subtrair no numerador. Vamos precisar saber sobre derivadas e a definição delas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da derivada de uma função. A derivada de é dada por:
No nosso caso, queremos provar a regra do produto, ou seja, se , então:

Passo 3

Vamos aplicar a definição da derivada para :

Passo 4

A dica sugere que a gente some e subtraia no numerador. Então, fazemos isso:
Isso é válido porque estamos adicionando e subtraindo a mesma coisa, o que não muda o valor.

Passo 5

Agora, vamos reorganizar os termos para facilitar:
Podemos dividir esse termo em duas partes:

Passo 6

Vamos então separar os termos:
Isso pode ser escrito como:

Passo 7

Agora, aplicamos os limites separadamente:
Aqui usamos o fato de que e as definições das derivadas de e .

Resposta

Portanto, provamos que a derivada do produto de duas funções é dada por:

Exercícios relacionados

Encontre e da função .
Encontre a derivada da função .
Prove que .
Utilizando a definição da derivada, encontre se .