Prove que se A é domínio de integridade e se a in A é tal que a^2=a, então a=1 ou a=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que se é um domínio de integridade e se temos um elemento em tal que , então deve ser ou ou . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra, especificamente propriedades de domínios de integridade e equações algébricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um domínio de integridade. Um domínio de integridade é um anel comutativo com identidade, onde o produto de dois elementos não nulos nunca é zero. Isso significa que não há divisores de zero no anel.

Passo 3

Agora, temos a equação . Podemos rearranjá-la para . Fatorando, temos .

Passo 4

No contexto de um domínio de integridade, sabemos que se o produto de dois elementos é zero, então pelo menos um dos fatores deve ser zero. Isso é uma consequência da definição de domínio de integridade, onde não existem divisores de zero.

Passo 5

Aplicando essa propriedade à nossa equação fatorada , concluímos que ou ou . Se , então .

Resposta

Portanto, se é um domínio de integridade e , então deve ser igual a ou .

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