Prove que se
é domínio de integridade e se
é tal que
, então
ou
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que se
é um domínio de integridade e se temos um elemento
em
tal que
, então
deve ser ou
ou
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra, especificamente propriedades de domínios de integridade e equações algébricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um domínio de integridade. Um domínio de integridade é um anel comutativo com identidade, onde o produto de dois elementos não nulos nunca é zero. Isso significa que não há divisores de zero no anel.
Passo 3
Agora, temos a equação
. Podemos rearranjá-la para
. Fatorando, temos
.
Passo 4
No contexto de um domínio de integridade, sabemos que se o produto de dois elementos é zero, então pelo menos um dos fatores deve ser zero. Isso é uma consequência da definição de domínio de integridade, onde não existem divisores de zero.
Passo 5
Aplicando essa propriedade à nossa equação fatorada
, concluímos que ou
ou
. Se
, então
.
Resposta
Portanto, se
é um domínio de integridade e
, então
deve ser igual a
ou
.