Seja f: Z4 Z4 times Z4 dada por f(barx)=(9+x, x+1).
f é injetora?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para sabermos se a função , definida por , é injetora. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função injetora e como trabalhar com operações em números modulares, especialmente em .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro de . Em , os números se repetem a cada 4 unidades, então . Portanto, .

Passo 3

Agora, a função pode ser reescrita como . Isso significa que, para qualquer em , a saída da função é um par onde ambos os componentes são iguais a .

Passo 4

Para verificar se é injetora, precisamos lembrar que uma função é injetora se, sempre que , então . Ou seja, entradas diferentes devem levar a saídas diferentes.

Passo 5

Vamos supor que (a+1, a+1) = (b+1, b+1) . Isso significa que:
Isso implica que . Em , isso só acontece se , ou seja, .

Resposta

Sim, a função é injetora.

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