Seja
dada por
.
é sobrejetora?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma função
que troca os elementos de dois conjuntos: ela pega um elemento de
e devolve um elemento de
. O conteúdo aqui é sobre funções e sobrejetividade. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser sobrejetora e verificar se essa função
satisfaz essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é ser sobrejetora. Uma função é chamada de sobrejetora (ou sobrejetiva) se todo elemento do conjunto de chegada tem pelo menos um elemento no conjunto de partida que mapeia para ele. Em outras palavras, não pode sobrar nenhum elemento no conjunto de chegada que não seja “atingido” pela função.
Passo 3
A função
está definida da seguinte forma:
Isso significa que, dado um par
onde
e
, a função troca as posições desses elementos, resultando em
.
Passo 4
Para verificar se
é sobrejetora, precisamos ver se para todo par
em
, existe pelo menos um par
em
tal que
.
Passo 5
Vamos pensar de forma prática. Dado qualquer
em
, queremos encontrar
tal que:
Isso significa que precisamos que:
Passo 6
Agora, vamos verificar se
pertence a
e
pertence a
. Como
vem de
e
vem de
, isso está tudo certo! Ou seja, para cada
, podemos escolher
e
, garantindo que
.
Passo 7
Como conseguimos, para qualquer
em
, encontrar um
que mapeia para ele através da função
, isso significa que todos os elementos do conjunto de chegada são atingidos pela função.
Resposta
Sim,
é sobrejetora.