Seja f: Z4 times Z8 Z8 times Z4 dada por f(barx, bary)=(bary, barx).
f é sobrejetora?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma função que troca os elementos de dois conjuntos: ela pega um elemento de e devolve um elemento de . O conteúdo aqui é sobre funções e sobrejetividade. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser sobrejetora e verificar se essa função satisfaz essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é ser sobrejetora. Uma função é chamada de sobrejetora (ou sobrejetiva) se todo elemento do conjunto de chegada tem pelo menos um elemento no conjunto de partida que mapeia para ele. Em outras palavras, não pode sobrar nenhum elemento no conjunto de chegada que não seja “atingido” pela função.

Passo 3

A função f(barx, bary) = (bary, barx) está definida da seguinte forma:
Isso significa que, dado um par onde e , a função troca as posições desses elementos, resultando em .

Passo 4

Para verificar se é sobrejetora, precisamos ver se para todo par em , existe pelo menos um par em tal que .

Passo 5

Vamos pensar de forma prática. Dado qualquer f(barx, bary) = (bary, barx) = (bara, barb) em bary = bara e barx = barb , queremos encontrar tal que:
Isso significa que precisamos que:

Passo 6

Agora, vamos verificar se pertence a e pertence a . Como vem de e vem de , isso está tudo certo! Ou seja, para cada , podemos escolher e , garantindo que .

Passo 7

Como conseguimos, para qualquer em , encontrar um que mapeia para ele através da função , isso significa que todos os elementos do conjunto de chegada são atingidos pela função.

Resposta

Sim, é sobrejetora.

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