Prove que, se a energia cinética interna de um sistema de duas partículas é Ek, C M, o módulo das velocidades das partículas relativamente ao CM são:
v1=[2 m2 Ek, C M / m1(m1+m2)]^1 / 2
e
v2=[2 m1 Ek, C M / m2(m1+m2)]^1 / 2.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: Temos um sistema composto por duas partículas, e a energia cinética interna desse sistema é Ek, CM. Queremos provar que as velocidades das partículas em relação ao centro de massa (CM) são dadas pelas seguintes fórmulas:
v1 = [ 2 m2 Ek, CMm1(m1 + m2) ]^1/2
v2 = [ 2 m1 Ek, CMm2(m1 + m2) ]^1/2
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de energia cinética no centro de massa e como as massas das partículas afetam suas velocidades relativas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética total de um sistema no centro de massa é a soma das energias cinéticas das partículas em relação ao CM. Matemática, isso é expresso como:
Ek, CM = 12 m1 v1^2 + 12 m2 v2^2
Aqui, v1 e v2 são as velocidades das partículas 1 e 2 em relação ao centro de massa.

Passo 3

Além disso, sabemos que no centro de massa, o momento total é zero. Isso significa que:
m1 v1 = m2 v2
Podemos rearranjar essa equação para expressar uma velocidade em termos da outra. Vamos resolver para v1:
v1 = m2m1 v2

Passo 4

Agora, substituímos a expressão de v1 na equação da energia cinética:
Ek, CM = 12 m1 ( m2m1 v2 )^2 + 12 m2 v2^2
Simplificando:
Ek, CM = 12 m1 ( m2^2m1^2 v2^2 ) + 12 m2 v2^2
Ek, CM = m2^22 m1 v2^2 + 12 m2 v2^2

Passo 5

Fatorando v2^2:
Ek, CM = ( m2^22 m1 + m22 ) v2^2
Ek, CM = m22 ( m2m1 + 1 ) v2^2
Ek, CM = m22 ( m1 + m2m1 ) v2^2

Passo 6

Isolando v2^2:
v2^2 = 2 Ek, CM m1m2 (m1 + m2)
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos:
v2 = ( 2 m1 Ek, CMm2 (m1 + m2) )^1/2
Essa é a expressão que queríamos para v2.

Passo 7

Para encontrar v1, usamos a relação que encontramos anteriormente:
v1 = m2m1 v2
Substituindo v2:
v1 = m2m1 ( 2 m1 Ek, CMm2 (m1 + m2) )^1/2
Simplificando:
v1 = ( 2 m2 Ek, CMm1 (m1 + m2) )^1/2

Resposta

Assim, provamos que as velocidades das partículas relativas ao centro de massa são:
v1 = ( 2 m2 Ek, CMm1 (m1 + m2) )^1/2
e
v2 = ( 2 m1 Ek, CMm2 (m1 + m2) )^1/2

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