Prove que, se a energia cinética interna de um sistema de duas partículas é , o módulo das velocidades das partículas relativamente ao CM são:

e
.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: Temos um sistema composto por duas partículas, e a energia cinética interna desse sistema é . Queremos provar que as velocidades das partículas em relação ao centro de massa (CM) são dadas pelas seguintes fórmulas:
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de energia cinética no centro de massa e como as massas das partículas afetam suas velocidades relativas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética total de um sistema no centro de massa é a soma das energias cinéticas das partículas em relação ao CM. Matemática, isso é expresso como:
Aqui, e são as velocidades das partículas 1 e 2 em relação ao centro de massa.

Passo 3

Além disso, sabemos que no centro de massa, o momento total é zero. Isso significa que:
Podemos rearranjar essa equação para expressar uma velocidade em termos da outra. Vamos resolver para :

Passo 4

Agora, substituímos a expressão de na equação da energia cinética:
Simplificando:

Passo 5

Fatorando :

Passo 6

Isolando :
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos:
Essa é a expressão que queríamos para .

Passo 7

Para encontrar , usamos a relação que encontramos anteriormente:
Substituindo :
Simplificando:

Resposta

Assim, provamos que as velocidades das partículas relativas ao centro de massa são:
e

Exercícios relacionados

Um sistema é composto de três partículas com massas de . A primeira partícula tem uma velocidade de . A segunda está se movendo com uma velocidade de 8 numa direção que faz um ângulo de com o eixo x . Determine a velocidade da terceira partícula de tal modo que o CM do conjunto esteja em repouso relativamente ao observador.
Uma partícula se move de acordo com a função horária (S.I.). Determine: o instante em que a partícula passa novamente pela sua posição inicial.
A equação horária do movimento de um móvel é dada por (SI). Determine: A equação horária da velocidade;
Uma pessoa, movendo-se a uma velocidade de módulo , bateu com a cabeça em um obstáculo fixo e foi submetida a uma ecoencefalograma. Nesse exame, um emissor/receptor de ultrassom é posicionado sobre a região a ser investigada. A existência de uma lesão pode ser verificada por meio da deteç̧ão do sinal de ultrassom que ela reflete. Suponha, agora, a existência de uma lesão. Sabendo-se que o tempo gasto para o registro do eco foi de , calcule a distância do ponto lesionado até o ponto . Dados: i. Módulo da velocidade do som no tecido encefálico: ; ii. Espessura do osso da caixa craniana: ; iii. Módulo da velocidade do som nos ossos: .