Prove que, se a energia cinética interna de um sistema de duas partículas é
, o módulo das velocidades das partículas relativamente ao CM são:
e
.
e
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: Temos um sistema composto por duas partículas, e a energia cinética interna desse sistema é
. Queremos provar que as velocidades das partículas em relação ao centro de massa (CM) são dadas pelas seguintes fórmulas:
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de energia cinética no centro de massa e como as massas das partículas afetam suas velocidades relativas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética total de um sistema no centro de massa é a soma das energias cinéticas das partículas em relação ao CM. Matemática, isso é expresso como:
Aqui,
e
são as velocidades das partículas 1 e 2 em relação ao centro de massa.
Passo 3
Além disso, sabemos que no centro de massa, o momento total é zero. Isso significa que:
Podemos rearranjar essa equação para expressar uma velocidade em termos da outra. Vamos resolver para
:
Passo 4
Agora, substituímos a expressão de
na equação da energia cinética:
Simplificando:
Passo 5
Fatorando
:
Passo 6
Isolando
:
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos:
Essa é a expressão que queríamos para
.
Passo 7
Para encontrar
, usamos a relação que encontramos anteriormente:
Substituindo
:
Simplificando:
Resposta
Assim, provamos que as velocidades das partículas relativas ao centro de massa são:
e