Um sistema é composto de três partículas com massas de
. A primeira partícula tem uma velocidade de
. A segunda está se movendo com uma velocidade de 8
numa direção que faz um ângulo de
com o eixo x . Determine a velocidade da terceira partícula de tal modo que o CM do conjunto esteja em repouso relativamente ao observador.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três partículas com massas de 3 kg, 2 kg e 5 kg. A primeira partícula tá se movendo com uma velocidade de
. A segunda tá indo a 8 m/s num ângulo de
em relação ao eixo x. A missão é encontrar a velocidade da terceira partícula para que o centro de massa (CM) do sistema fique parado em relação ao observador. Vamos usar conceitos de física sobre centro de massa e conservação do momento para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa do sistema está em repouso se a soma de todos os momentos (massa vezes velocidade) for igual a zero. Matemáticamente, isso fica:
Isso significa que a soma dos momentos das três partículas deve cancelar, dando zero.
Passo 3
Vamos calcular o momento de cada partícula. O momento é dado por:
Então, para cada partícula:
- Para a primeira partícula:
- Para a segunda partícula, precisamos decompor a velocidade nos eixos x e y. A velocidade é 8 m/s a
:
Então, o momento da segunda partícula é:
Passo 4
Agora, vamos somar os momentos das duas primeiras partículas:
Como o centro de massa precisa estar em repouso, o momento da terceira partícula deve ser o oposto dessa soma:
Passo 5
Sabendo que o momento da terceira partícula é
, podemos encontrar a velocidade dela:
Simplificando:
Resposta
A velocidade da terceira partícula deve ser:
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e
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e
.
e
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