Um sistema é composto de três partículas com massas de . A primeira partícula tem uma velocidade de . A segunda está se movendo com uma velocidade de 8 numa direção que faz um ângulo de com o eixo x . Determine a velocidade da terceira partícula de tal modo que o CM do conjunto esteja em repouso relativamente ao observador.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três partículas com massas de 3 kg, 2 kg e 5 kg. A primeira partícula tá se movendo com uma velocidade de . A segunda tá indo a 8 m/s num ângulo de em relação ao eixo x. A missão é encontrar a velocidade da terceira partícula para que o centro de massa (CM) do sistema fique parado em relação ao observador. Vamos usar conceitos de física sobre centro de massa e conservação do momento para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa do sistema está em repouso se a soma de todos os momentos (massa vezes velocidade) for igual a zero. Matemáticamente, isso fica:
Isso significa que a soma dos momentos das três partículas deve cancelar, dando zero.

Passo 3

Vamos calcular o momento de cada partícula. O momento é dado por:
Então, para cada partícula:
  • Para a primeira partícula:
  • Para a segunda partícula, precisamos decompor a velocidade nos eixos x e y. A velocidade é 8 m/s a :
Então, o momento da segunda partícula é:

Passo 4

Agora, vamos somar os momentos das duas primeiras partículas:
Como o centro de massa precisa estar em repouso, o momento da terceira partícula deve ser o oposto dessa soma:

Passo 5

Sabendo que o momento da terceira partícula é , podemos encontrar a velocidade dela:
Simplificando:

Resposta

A velocidade da terceira partícula deve ser:

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e
.
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