Um sistema é composto de três partículas com massas de 3,2,5 kg. A primeira partícula tem uma velocidade de 6 ux m / s. A segunda está se movendo com uma velocidade de 8 m / s numa direção que faz um ângulo de -30^circ com o eixo x . Determine a velocidade da terceira partícula de tal modo que o CM do conjunto esteja em repouso relativamente ao observador.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três partículas com massas de 3 kg, 2 kg e 5 kg. A primeira partícula tá se movendo com uma velocidade de . A segunda tá indo a 8 m/s num ângulo de em relação ao eixo x. A missão é encontrar a velocidade da terceira partícula para que o centro de massa (CM) do sistema fique parado em relação ao observador. Vamos usar conceitos de física sobre centro de massa e conservação do momento para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa do sistema está em repouso se a soma de todos os momentos (massa vezes velocidade) for igual a zero. Matemáticamente, isso fica:
sum mi vi = 0
Isso significa que a soma dos momentos das três partículas deve cancelar, dando zero.

Passo 3

Vamos calcular o momento de cada partícula. O momento é dado por:
p = m v
Então, para cada partícula:
  • Para a primeira partícula:
p1 = 3 , kg times 6 ux , m/s = 18 ux , kg·m/s
  • Para a segunda partícula, precisamos decompor a velocidade nos eixos x e y. A velocidade é 8 m/s a v2x = 8 cos(-30^circ) = 8 times raiz32 = 4raiz3 , m/s :
v2y = 8 sin(-30^circ) = 8 times (-12) = -4 , m/s
p2 = 2 , kg times (4raiz3 ux - 4 uy) , m/s = 8raiz3 ux - 8 uy , kg·m/s
Então, o momento da segunda partícula é:

Passo 4

Agora, vamos somar os momentos das duas primeiras partículas:
p1 + p2 = (18 + 8raiz3) ux - 8 uy , kg·m/s
Como o centro de massa precisa estar em repouso, o momento da terceira partícula deve ser o oposto dessa soma:
p3 = -(p1 + p2) = -(18 + 8raiz3) ux + 8 uy , kg·m/s

Passo 5

Sabendo que o momento da terceira partícula é v3 = p3m3 = -(18 + 8raiz3) ux + 8 uy5 , kg , podemos encontrar a velocidade dela:
v3 = ( -18 + 8raiz35 ) ux + ( 85 ) uy , m/s
Simplificando:

Resposta

A velocidade da terceira partícula deve ser:
v3 = ( -18 + 8raiz35 ) ux + ( 85 ) uy , m/s

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