Prove que se f é contínua em x_0 e f(x) ≥ 0, para todo x em R, então h(x) = raiz(f(x)) é contínua em x_0.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar que, se é contínua em e para todo , então também é contínua em .
Matéria envolvida: Continuidade de funções e propriedades de funções compostas.
O que vamos precisar: Definição de continuidade, propriedades da raiz quadrada e limites de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Dizemos que é contínua em se:
Isso significa que, à medida que se aproxima de , os valores de se aproximam de .

Passo 3

Sabemos que para todo . Isso é importante porque queremos aplicar a função raiz quadrada, , que só está definida para valores não negativos.

Passo 4

Queremos mostrar que é contínua em . Para isso, precisamos verificar se:
Substituindo :

Passo 5

Vamos utilizar uma propriedade importante dos limites: se e é uma função contínua em , então:
Aqui, nossa função é contínua para , que é o caso, já que .

Passo 6

Como é contínua em , temos:
Aplicando a função contínua , obtemos:

Passo 7

Portanto, atendemos à definição de continuidade para :
Isso mostra que é contínua em .

Resposta

Assim, comprovamos que se é contínua em e para todo , então também é contínua em .

Exercícios relacionados

Seja f: [a, b] -> R uma função duas vezes derivável, com f''(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. Mostre que f é convexa.
Seja f: R -> R tal que
|f(x) - f(y)| <= |x - y|^2
para todo x, y em R. Prove que f é constante.
Seja f: [a, b] -> R uma função. Diz-se que f é uma função convexa no intervalo [a, b] se x in [a, b] => f(x) <= f(a) + (f(b) - f(a)) / (b - a) * (x - a), ou seja, o gráfico de f no intervalo [a, b] está abaixo do segmento de reta que liga os pontos (a, f(a)) e (b, f(b)). Se f é derivável, mostre que são equivalentes:
f: [a, b] -> R é convexa;
Suponha que f^prime(x0) neq 0 e g^prime(x0) neq 0 e que existam. Se f(x0)=0 e g(x0)=0, então
lim x x0 f(x)g(x)=f^prime(x0)g^prime(x0)