Prove que se
é contínua em
e
, para todo
, então
é contínua em
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para provar que, se
é contínua em
e
para todo
, então
também é contínua em
.
Matéria envolvida: Continuidade de funções e propriedades de funções compostas.
O que vamos precisar: Definição de continuidade, propriedades da raiz quadrada e limites de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Dizemos que
é contínua em
se:
Isso significa que, à medida que
se aproxima de
, os valores de
se aproximam de
.
Passo 3
Sabemos que
para todo
. Isso é importante porque queremos aplicar a função raiz quadrada,
, que só está definida para valores não negativos.
Passo 4
Queremos mostrar que
é contínua em
. Para isso, precisamos verificar se:
Substituindo
:
Passo 5
Vamos utilizar uma propriedade importante dos limites: se
e
é uma função contínua em
, então:
Aqui, nossa função
é contínua para
, que é o caso, já que
.
Passo 6
Como
é contínua em
, temos:
Aplicando a função contínua
, obtemos:
Passo 7
Portanto, atendemos à definição de continuidade para
:
Isso mostra que
é contínua em
.
Resposta
Assim, comprovamos que se
é contínua em
e
para todo
, então
também é contínua em
.
Exercícios relacionados
Seja
uma função duas vezes derivável, com
para todo
. Mostre que
é convexa.
Seja
tal que
para todo
. Prove que
é constante.
Seja
uma função. Diz-se que
é uma função convexa no intervalo
se
, ou seja, o gráfico de
no intervalo
está abaixo do segmento de reta que liga os pontos
e
. Se
é derivável, mostre que são equivalentes:
é convexa;
Suponha que
e
e que existam. Se
e
, então