Prove que se f é contínua em x_0 e f(x) ≥ 0, para todo x em R, então h(x) = raiz(f(x)) é contínua em x_0.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar que, se é contínua em e para todo , então também é contínua em .
Matéria envolvida: Continuidade de funções e propriedades de funções compostas.
O que vamos precisar: Definição de continuidade, propriedades da raiz quadrada e limites de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Dizemos que é contínua em se:
Isso significa que, à medida que se aproxima de , os valores de se aproximam de .

Passo 3

Sabemos que para todo . Isso é importante porque queremos aplicar a função raiz quadrada, , que só está definida para valores não negativos.

Passo 4

Queremos mostrar que é contínua em . Para isso, precisamos verificar se:
Substituindo :

Passo 5

Vamos utilizar uma propriedade importante dos limites: se e é uma função contínua em , então:
Aqui, nossa função é contínua para , que é o caso, já que .

Passo 6

Como é contínua em , temos:
Aplicando a função contínua , obtemos:

Passo 7

Portanto, atendemos à definição de continuidade para :
Isso mostra que é contínua em .

Resposta

Assim, comprovamos que se é contínua em e para todo , então também é contínua em .

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