Seja
uma função. Diz-se que
é uma função convexa no intervalo
se
, ou seja, o gráfico de
no intervalo
está abaixo do segmento de reta que liga os pontos
e
. Se
é derivável, mostre que são equivalentes:
é convexa;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma função
que é derivável no intervalo
. A questão quer que mostremos que certas propriedades são equivalentes à função
ser convexa nesse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o conceito de função convexa e como a derivada está relacionada a essa convexidade.
Passo 2
Vamos relembrar o que significa uma função ser convexa. Uma função
é convexa no intervalo
se, para qualquer
, a seguinte condição é verdadeira:
Isso significa que o gráfico de
está sempre abaixo da linha reta que liga os pontos
e
.
Passo 3
Agora, como a função
é derivável, podemos usar a derivada para analisar sua convexidade. Uma propriedade importante é que uma função é convexa se e somente se sua derivada é não decrescente no intervalo
. Isso significa que:
Passo 4
Vamos mostrar que se
é convexa, então sua derivada
é não decrescente. Suponha que
é convexa. Então, para qualquer
em
, a inclinação da reta entre
e
é maior ou igual à inclinação da reta entre
e
. Isso implica que:
Como isso é válido para qualquer
, concluímos que
é não decrescente.
Passo 5
Agora, vamos mostrar o caminho contrário: se a derivada
é não decrescente, então a função
é convexa. Suponha que
é não decrescente no intervalo
. Isso significa que para
, temos
. Integrando essa desigualdade, obtemos que:
Isso mostra que o gráfico de
está acima da reta tangente em qualquer ponto
, o que caracteriza a convexidade da função.
Resposta
Portanto, mostramos que uma função derivável
é convexa se e somente se sua derivada
é não decrescente no intervalo
.
Exercícios relacionados
Prove que se
é contínua em
e
, para todo
, então
é contínua em
.
Seja
uma função duas vezes derivável, com
para todo
. Mostre que
é convexa.
Suponha que
e
e que existam. Se
e
, então
Responda os itens com respeito à função
e à integral
.
Utilize a fórmula de integração por partes, com e
, para determinar
.
Utilize a fórmula de integração por partes, com