Seja f: [a, b] -> R uma função. Diz-se que f é uma função convexa no intervalo [a, b] se x in [a, b] => f(x) <= f(a) + (f(b) - f(a)) / (b - a) * (x - a), ou seja, o gráfico de f no intervalo [a, b] está abaixo do segmento de reta que liga os pontos (a, f(a)) e (b, f(b)). Se f é derivável, mostre que são equivalentes:
f: [a, b] -> R é convexa;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma função que é derivável no intervalo . A questão quer que mostremos que certas propriedades são equivalentes à função ser convexa nesse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o conceito de função convexa e como a derivada está relacionada a essa convexidade.

Passo 2

Vamos relembrar o que significa uma função ser convexa. Uma função é convexa no intervalo se, para qualquer , a seguinte condição é verdadeira:
Isso significa que o gráfico de está sempre abaixo da linha reta que liga os pontos e .

Passo 3

Agora, como a função é derivável, podemos usar a derivada para analisar sua convexidade. Uma propriedade importante é que uma função é convexa se e somente se sua derivada é não decrescente no intervalo . Isso significa que:

Passo 4

Vamos mostrar que se é convexa, então sua derivada é não decrescente. Suponha que é convexa. Então, para qualquer em , a inclinação da reta entre e é maior ou igual à inclinação da reta entre e . Isso implica que:
Como isso é válido para qualquer , concluímos que é não decrescente.

Passo 5

Agora, vamos mostrar o caminho contrário: se a derivada é não decrescente, então a função é convexa. Suponha que é não decrescente no intervalo . Isso significa que para , temos . Integrando essa desigualdade, obtemos que:
Isso mostra que o gráfico de está acima da reta tangente em qualquer ponto , o que caracteriza a convexidade da função.

Resposta

Portanto, mostramos que uma função derivável é convexa se e somente se sua derivada é não decrescente no intervalo .

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