Prove que:
Se f e g são duas funções pares então f g e f/g com g != 0 são funções pares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que se e são funções pares, então tanto o produto quanto a divisão (quando ) também são funções pares. Estamos trabalhando com funções pares na matéria de funções e suas propriedades. Para isso, vamos precisar lembrar o que define uma função par e aplicar essa definição nas operações de multiplicação e divisão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função par. Uma função é par se, para todo no domínio, . Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 3

Agora, vamos começar provando que o produto é uma função par. Sabemos que e são funções pares, então:

Passo 4

Vamos calcular :
Substituindo pelas igualdade das funções pares:
Isso mostra que satisfaz a condição de ser uma funç��o par.

Passo 5

Agora, vamos provar que a divisão também é uma função par, considerando que . Começamos calculando :
Substituindo pelas igualdade das funções pares:
Isso confirma que também é uma função par.

Resposta

Portanto, mostramos que tanto o produto quanto a divisão (com ) de duas funções pares e resultam em funções pares.

Exercícios relacionados

Utilize simetrias, transformações verticais, transformações horizontais e reflexões para esboçar os gráficos de:
f(x) = raiz(9 - x^2) + c para c = 0, 1, -3.
Determine o domínio de:
y = ln(5 - 2 x^2).
Determine o domínio das seguintes funções:
y = raiz(3)(x^2 - 4 x + 3).
Para cada item, calcule f + g, f - g, f * g, f / g, f o g, g o f com os seus respectivos domínios.
f(x) = raiz(x + 1) e g(x) = x - 2.