Prove que:
Se
e
são duas funções pares então
e
com
são funções pares.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que se
e
são funções pares, então tanto o produto
quanto a divisão
(quando
) também são funções pares. Estamos trabalhando com funções pares na matéria de funções e suas propriedades. Para isso, vamos precisar lembrar o que define uma função par e aplicar essa definição nas operações de multiplicação e divisão.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função par. Uma função
é par se, para todo
no domínio,
. Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo y.
Passo 3
Agora, vamos começar provando que o produto
é uma função par. Sabemos que
e
são funções pares, então:
Passo 4
Vamos calcular
:
Substituindo pelas igualdade das funções pares:
Isso mostra que
satisfaz a condição de ser uma funç��o par.
Passo 5
Agora, vamos provar que a divisão
também é uma função par, considerando que
. Começamos calculando
:
Substituindo pelas igualdade das funções pares:
Isso confirma que
também é uma função par.
Resposta
Portanto, mostramos que tanto o produto
quanto a divisão
(com
) de duas funções pares
e
resultam em funções pares.
Exercícios relacionados
Utilize simetrias, transformações verticais, transformações horizontais e reflexões para esboçar os gráficos de:
para
.
Determine o domínio de:
.
Determine o domínio das seguintes funções:
.
Para cada item, calcule
com os seus respectivos domínios.
e
.