Utilize simetrias, transformações verticais, transformações horizontais e reflexões para esboçar os gráficos de:
f(x) = raiz(9 - x^2) + c para c = 0, 1, -3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar simetrias, transformações verticais e horizontais, além de reflexões, para desenhar os gráficos da função para os valores de . Então, vamos precisar entender como essas transformações afetam o gráfico de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função básica sem a constante : . Essa função representa a parte superior de um círculo. Por quê? Porque a equação é derivada da equação do círculo , que tem raio 3 e está centrado na origem (0,0). A raiz quadrada nos dá apenas a metade superior do círculo.

Passo 3

Agora, vamos entender as transformações que ocorrem quando adicionamos a constante . A expressão dentro da função representa uma translação vertical do gráfico. Isso significa que o gráfico inteiro será movido para cima ou para baixo no eixo y, dependendo do valor de .

Passo 4

Vamos aplicar isso para cada valor de :
  1. Para :
    • A função fica .
    • Isso é exatamente a metade superior do círculo com raio 3, centrado na origem.
  2. Para :
    • A função fica .
    • Isso significa que todo o gráfico da metade superior do círculo será movido 1 unidade para cima no eixo y.
  3. Para :
    • A função fica .
    • Aqui, o gráfico será movido 3 unidades para baixo no eixo y.

Passo 5

Vamos resumir as transformações:
  • Simetria: A função é simétrica em relação ao eixo y, pois substituir por não muda a função.
  • Translação Vertical:
    • : Sem translação, gráfico original.
    • : Subida de 1 unidade.
    • : Descida de 3 unidades.
  • Nenhuma Translação Horizontal ou Reflexão está ocorrendo aqui, já que não há termos que envolvem fora do radical além de , que já garante a simetria.

Resposta

Resumindo, os gráficos de para os valores de são partes superiores de círculos com raio 3, centrados no ponto (0, ). Especificamente:
  • Para : Metade superior do círculo centrado na origem.
  • Para : Metade superior do círculo deslocado 1 unidade para cima.
  • Para : Metade superior do círculo deslocado 3 unidades para baixo.
Dessa forma, ao variar , você move o gráfico para cima ou para baixo, mantendo a forma semicircular.

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