Utilize simetrias, transformações verticais, transformações horizontais e reflexões para esboçar os gráficos de:
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar simetrias, transformações verticais e horizontais, além de reflexões, para desenhar os gráficos da função
para os valores de
. Então, vamos precisar entender como essas transformações afetam o gráfico de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função básica sem a constante
:
. Essa função representa a parte superior de um círculo. Por quê? Porque a equação
é derivada da equação do círculo
, que tem raio 3 e está centrado na origem (0,0). A raiz quadrada nos dá apenas a metade superior do círculo.
Passo 3
Agora, vamos entender as transformações que ocorrem quando adicionamos a constante
. A expressão
dentro da função
representa uma translação vertical do gráfico. Isso significa que o gráfico inteiro será movido para cima ou para baixo no eixo y, dependendo do valor de
.
Passo 4
Vamos aplicar isso para cada valor de
:
-
Para
: - A função fica
. - Isso é exatamente a metade superior do círculo com raio 3, centrado na origem.
- A função fica
-
Para
: - A função fica
. - Isso significa que todo o gráfico da metade superior do círculo será movido 1 unidade para cima no eixo y.
- A função fica
-
Para
: - A função fica
. - Aqui, o gráfico será movido 3 unidades para baixo no eixo y.
- A função fica
Passo 5
Vamos resumir as transformações:
- Simetria: A função
é simétrica em relação ao eixo y, pois substituir por não muda a função. - Translação Vertical:
-
: Sem translação, gráfico original. -
: Subida de 1 unidade. -
: Descida de 3 unidades.
-
- Nenhuma Translação Horizontal ou Reflexão está ocorrendo aqui, já que não há termos que envolvem
fora do radical além de , que já garante a simetria.
Resposta
Resumindo, os gráficos de
para os valores de
são partes superiores de círculos com raio 3, centrados no ponto (0,
). Especificamente:
- Para
: Metade superior do círculo centrado na origem. - Para
: Metade superior do círculo deslocado 1 unidade para cima. - Para
: Metade superior do círculo deslocado 3 unidades para baixo.
Dessa forma, ao variar
, você move o gráfico para cima ou para baixo, mantendo a forma semicircular.
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Determine o domínio de:
.
Determine o domínio de:
.
Prove que:
Se e
são duas funções pares então
e
com
são funções pares.
Se
Determine o domínio das seguintes funções:
.