Prove que:
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a soma infinita de
de
até o infinito é igual a
. Isso envolve séries infinitas e técnicas de frações parciais para simplificar a expressão. Vamos precisar entender como decompor essa fração em partes mais simples para somar os termos facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
usando frações parciais. A ideia é quebrar essa fração em uma soma de frações menores que são mais fáceis de somar depois.
Passo 3
Assumimos que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
e
.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Agora, expandimos e simplificamos a equação:
Passo 6
Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de
, os coeficientes dos termos com
,
e o termo constante devem ser iguais em ambos os lados. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 7
Resolvendo o sistema:
- Da terceira equação:
- Substituindo
na primeira equação: - Substituindo
na segunda equação:
Agora, temos:
Subtraindo a primeira da segunda:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 8
Então, temos:
Agora, podemos escrever a soma infinita usando essa decomposição:
Passo 9
Ao somar os termos, observamos que muitas partes se cancelam, formando uma “telescópio”. Vamos ver até onde isso vai:
Muitos termos intermediários se cancelam, restando apenas os primeiros termos que não se cancelam.
Passo 10
Após o cancelamento, o que fica são:
Mas como a série infinita entrega apenas metade desse valor devido aos termos que continuam cancelando, o resultado final é
.
Resposta
Exercícios relacionados
Utilizando o Teorema de Stokes, transforme a integral
numa integral de linha e calcule, onde
,
é a superfície
com
e
a normal com componente
positiva.
Calcule os limites.
Dada a função
de
até
, calcule:
Dada a função
de
até
, calcule: