Prove que:
(f)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a soma infinita de de até o infinito é igual a . Isso envolve séries infinitas e técnicas de frações parciais para simplificar a expressão. Vamos precisar entender como decompor essa fração em partes mais simples para somar os termos facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando frações parciais. A ideia é quebrar essa fração em uma soma de frações menores que são mais fáceis de somar depois.

Passo 3

Assumimos que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:

Passo 5

Agora, expandimos e simplificamos a equação:

Passo 6

Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de , os coeficientes dos termos com , e o termo constante devem ser iguais em ambos os lados. Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 7

Resolvendo o sistema:
  • Da terceira equação:
  • Substituindo na primeira equação:
  • Substituindo na segunda equação:
Agora, temos:
Subtraindo a primeira da segunda:
Substituindo na primeira equação:

Passo 8

Então, temos:
Agora, podemos escrever a soma infinita usando essa decomposição:

Passo 9

Ao somar os termos, observamos que muitas partes se cancelam, formando uma “telescópio”. Vamos ver até onde isso vai:
Muitos termos intermediários se cancelam, restando apenas os primeiros termos que não se cancelam.

Passo 10

Após o cancelamento, o que fica são:
Mas como a série infinita entrega apenas metade desse valor devido aos termos que continuam cancelando, o resultado final é .

Resposta

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