Utilizando o Teorema de Stokes, transforme a integral
numa integral de linha e calcule, onde , é a superfície com e a normal com componente positiva.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral de superfície envolvendo o rotacional de um campo vetorial sobre a superfície que é um paraboloide limitado por . A gente vai usar o Teorema de Stokes para transformar essa integral de superfície em uma integral de linha, facilitando o cálculo. Para isso, vamos precisar entender o que é o rotacional, o Teorema de Stokes e como parametrizar a curva de contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por ou , mede a tendência do campo vetorial de girar em torno de um ponto. Para o nosso campo , vamos calcular o rotacional.
A fórmula do rotacional é:
Para , temos , , .
Calculando cada componente:
  • Componente :
  • Componente :
  • Componente :
Então,

Passo 3

Agora, aplicando o Teorema de Stokes, que diz que:
Onde é a curva de contorno da superfície . No nosso caso, é o paraboloide até , então a curva é o círculo onde , ou seja, .
Vamos parametrizar essa curva. Podemos usar coordenadas polares para facilitar. Seja:
Onde varia de a .
O vetor posição é então:
A derivada de em relação a é:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de linha .
Substituindo e a parametrização da curva :
Então,
Portanto, a integral de linha fica:

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Sabemos que:
Então,
Integrando termo a termo:
Calculando as integrais:
Então,

Resposta

A integral vale .

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Seja e o disco de centro e raio 1. Calcule
para orientada no sentido anti-horário.
Prove que:
(f)
Dada a função de até , calcule: