Utilizando o Teorema de Stokes, transforme a integral
numa integral de linha e calcule, onde , é a superfície com e a normal com componente positiva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral de superfície envolvendo o rotacional de um campo vetorial sobre a superfície que é um paraboloide limitado por . A gente vai usar o Teorema de Stokes para transformar essa integral de superfície em uma integral de linha, facilitando o cálculo. Para isso, vamos precisar entender o que é o rotacional, o Teorema de Stokes e como parametrizar a curva de contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por ou , mede a tendência do campo vetorial de girar em torno de um ponto. Para o nosso campo , vamos calcular o rotacional.
A fórmula do rotacional é:
Para , temos , , .
Calculando cada componente:
Componente :
Componente :
Componente :
Então,
Passo 3
Agora, aplicando o Teorema de Stokes, que diz que:
Onde é a curva de contorno da superfície . No nosso caso, é o paraboloide até , então a curva é o círculo onde , ou seja, .
Vamos parametrizar essa curva. Podemos usar coordenadas polares para facilitar. Seja: