Prove a fórmula do Binômio de Newton: Sejam a, b >= 0, então para todo n in N vale
(a+b)^n=sumi=0^nbinomni a^i b^n-i, onde binomni:=n!i!(n-i)!

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos provar a fórmula do Binômio de Newton, que diz que para quaisquer números não negativos (a+b)^n = sumi=0^n binomni a^i b^n-i e binomni = n!i!(n-i)! , e para todo número natural , a expressão pode ser expandida da seguinte forma:
Aqui, representa o coeficiente binomial, que é calculado por:
Para provar isso, vamos usar o princípio de indução matemática, que é uma técnica comum na matemática para demonstrar afirmações que dependem de um número natural .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para o caso base, que geralmente é (a + b)^0 = 1 .
Quando sumi=0^0 binom0i a^i b^0-i = binom00 a^0 b^0 = 1 times 1 times 1 = 1 :
E do outro lado da equação:
Então, para , a fórmula está correta.

Passo 3

Agora, assumimos que a fórmula é válida para algum número natural (a + b)^k = sumi=0^k binomki a^i b^k-i , ou seja, assumimos que:
Essa suposiç��o é chamada de hipótese de indução.

Passo 4

Precisamos mostrar que, se a fórmula é válida para (a + b)^k+1 = (a + b)(a + b)^k , então ela também é válida para (a + b)^k+1 = (a + b) sumi=0^k binomki a^i b^k-i .
Vamos calcular :
Agora, substituímos pela nossa hipótese de indução:

Passo 5

Vamos distribuir (a + b)^k+1 = sumi=0^k binomki a^i+1 b^k-i + sumi=0^k binomki a^i b^k-i+1 na soma:
= sumi=1^k+1 binomki-1 a^i b^k+1-i + sumi=0^k binomki a^i b^k+1-i
Podemos reescrever os índices para facilitar a somatória:

Passo 6

Agora, combinamos as duas somas:
(a + b)^k+1 = sumi=0^k+1 [ binomki-1 + binomki ] a^i b^k+1-i
Aqui, usamos a propriedade dos coeficientes binomiais de que:
binomk+1i = binomki-1 + binomki

Passo 7

Substituindo essa propriedade na nossa expressão:
(a + b)^k+1 = sumi=0^k+1 binomk+1i a^i b^k+1-i
Isso mostra que a fórmula é válida para se for válida para .

Passo 8

Como verificamos que a fórmula é verdadeira para o caso base e mostramos que, se ela é válida para , então também é válida para , concluímos, por indução matemática, que a fórmula do Binômio de Newton é válida para todo número natural .

Resposta

Portanto, provamos que para quaisquer (a+b)^n = sumi=0^n binomni a^i b^n-i e para todo , a fórmula do Binômio de Newton é válida:

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