Prove a fórmula do Binômio de Newton: Sejam
, então para todo
vale
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos provar a fórmula do Binômio de Newton, que diz que para quaisquer números não negativos
e
, e para todo número natural
, a expressão
pode ser expandida da seguinte forma:
Aqui,
representa o coeficiente binomial, que é calculado por:
Para provar isso, vamos usar o princípio de indução matemática, que é uma técnica comum na matemática para demonstrar afirmações que dependem de um número natural
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para o caso base, que geralmente é
.
Quando
:
E do outro lado da equação:
Então, para
, a fórmula está correta.
Passo 3
Agora, assumimos que a fórmula é válida para algum número natural
, ou seja, assumimos que:
Essa suposiç��o é chamada de hipótese de indução.
Passo 4
Precisamos mostrar que, se a fórmula é válida para
, então ela também é válida para
.
Vamos calcular
:
Agora, substituímos
pela nossa hipótese de indução:
Passo 5
Vamos distribuir
na soma:
Podemos reescrever os índices para facilitar a somatória:
Passo 6
Agora, combinamos as duas somas:
Aqui, usamos a propriedade dos coeficientes binomiais de que:
Passo 7
Substituindo essa propriedade na nossa expressão:
Isso mostra que a fórmula é válida para
se for válida para
.
Passo 8
Como verificamos que a fórmula é verdadeira para o caso base
e mostramos que, se ela é válida para
, então também é válida para
, concluímos, por indução matemática, que a fórmula do Binômio de Newton é válida para todo número natural
.
Resposta
Portanto, provamos que para quaisquer
e para todo
, a fórmula do Binômio de Newton é válida:
Exercícios relacionados
Usando as definições de soma e produto em
, prove as seguintes propriedades:
(a) A soma é comutativa;
(b) A soma é associativa;
© O produto é comutativo;
(d) O produto é associativo;
(e) Vale a propriedade distributiva: ;
(f) Valem as propriedades de cancelamento:
(a) A soma é comutativa;
(b) A soma é associativa;
© O produto é comutativo;
(d) O produto é associativo;
(e) Vale a propriedade distributiva:
(f) Valem as propriedades de cancelamento:
está bem definido.
Seja
. Mostre que
Sejam
e
dois conjuntos finitos de
e
elementos, mostre que
tem
elementos.