Prove a fórmula do Binômio de Newton: Sejam , então para todo vale

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos provar a fórmula do Binômio de Newton, que diz que para quaisquer números não negativos e , e para todo número natural , a expressão pode ser expandida da seguinte forma:
Aqui, representa o coeficiente binomial, que é calculado por:
Para provar isso, vamos usar o princípio de indução matemática, que é uma técnica comum na matemática para demonstrar afirmações que dependem de um número natural .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para o caso base, que geralmente é .
Quando :
E do outro lado da equação:
Então, para , a fórmula está correta.

Passo 3

Agora, assumimos que a fórmula é válida para algum número natural , ou seja, assumimos que:
Essa suposiç��o é chamada de hipótese de indução.

Passo 4

Precisamos mostrar que, se a fórmula é válida para , então ela também é válida para .
Vamos calcular :
Agora, substituímos pela nossa hipótese de indução:

Passo 5

Vamos distribuir na soma:
Podemos reescrever os índices para facilitar a somatória:

Passo 6

Agora, combinamos as duas somas:
Aqui, usamos a propriedade dos coeficientes binomiais de que:

Passo 7

Substituindo essa propriedade na nossa expressão:
Isso mostra que a fórmula é válida para se for válida para .

Passo 8

Como verificamos que a fórmula é verdadeira para o caso base e mostramos que, se ela é válida para , então também é válida para , concluímos, por indução matemática, que a fórmula do Binômio de Newton é válida para todo número natural .

Resposta

Portanto, provamos que para quaisquer e para todo , a fórmula do Binômio de Newton é válida:

Exercícios relacionados

Usando as definições de soma e produto em , prove as seguintes propriedades:
(a) A soma é comutativa;
(b) A soma é associativa;
© O produto é comutativo;
(d) O produto é associativo;
(e) Vale a propriedade distributiva: ;
(f) Valem as propriedades de cancelamento:
Prove que o produto em ,
está bem definido.
Seja . Mostre que
Sejam e dois conjuntos finitos de e elementos, mostre que tem elementos.