Seja
. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que
para todo
e
naturais. Aqui, vamos mexer com séries geométricas, que são somas com razão constante entre os termos. Vamos precisar entender como somar essa sequência e usar um pouco de álgebra para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar a soma
de:
Essa é uma série geométrica porque cada termo é
vezes o anterior. A fórmula para somar uma série geométrica finita é:
Essa fórmula facilita muito a soma dos termos!
Passo 3
Agora, vamos multiplicar
por
:
Observe que
no numerador e no denominador se cancelam, ficando apenas: