Seja . Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que para todo e naturais. Aqui, vamos mexer com séries geométricas, que são somas com razão constante entre os termos. Vamos precisar entender como somar essa sequência e usar um pouco de álgebra para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar a soma de:
Essa é uma série geométrica porque cada termo é vezes o anterior. A fórmula para somar uma série geométrica finita é:
Essa fórmula facilita muito a soma dos termos!

Passo 3

Agora, vamos multiplicar por :
Observe que no numerador e no denominador se cancelam, ficando apenas:

Resposta

Exercícios relacionados

Prove a fórmula do Binômio de Newton: Sejam , então para todo vale
Usando as definições de soma e produto em , prove as seguintes propriedades:
(a) A soma é comutativa;
(b) A soma é associativa;
© O produto é comutativo;
(d) O produto é associativo;
(e) Vale a propriedade distributiva: ;
(f) Valem as propriedades de cancelamento:
Sejam e dois conjuntos finitos de e elementos, mostre que tem elementos.
Prove que todo número racional pode ser escrito da forma .