Seja
. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que
para todo
e
naturais. Aqui, vamos mexer com séries geométricas, que são somas com razão constante entre os termos. Vamos precisar entender como somar essa sequência e usar um pouco de álgebra para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar a soma
de:
Essa é uma série geométrica porque cada termo é
vezes o anterior. A fórmula para somar uma série geométrica finita é:
Essa fórmula facilita muito a soma dos termos!
Passo 3
Agora, vamos multiplicar
por
:
Observe que
no numerador e no denominador se cancelam, ficando apenas:
Resposta
Exercícios relacionados
Prove a fórmula do Binômio de Newton: Sejam
, então para todo
vale
Usando as definições de soma e produto em
, prove as seguintes propriedades:
(a) A soma é comutativa;
(b) A soma é associativa;
© O produto é comutativo;
(d) O produto é associativo;
(e) Vale a propriedade distributiva: ;
(f) Valem as propriedades de cancelamento:
(a) A soma é comutativa;
(b) A soma é associativa;
© O produto é comutativo;
(d) O produto é associativo;
(e) Vale a propriedade distributiva:
(f) Valem as propriedades de cancelamento:
Sejam
e
dois conjuntos finitos de
e
elementos, mostre que
tem
elementos.
Prove que todo número racional pode ser escrito da forma
.