Seja r pertence a N. Mostre que
(r-1)(1+r+r^2+...+r^(n-1))=r^n-1, para todo n em N

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que para todo e naturais. Aqui, vamos mexer com séries geométricas, que são somas com razão constante entre os termos. Vamos precisar entender como somar essa sequência e usar um pouco de álgebra para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar a soma de:
Essa é uma série geométrica porque cada termo é vezes o anterior. A fórmula para somar uma série geométrica finita é:
Essa fórmula facilita muito a soma dos termos!

Passo 3

Agora, vamos multiplicar por :
Observe que no numerador e no denominador se cancelam, ficando apenas:

Resposta

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