Sejam e dois conjuntos finitos de e elementos, mostre que tem elementos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre produto cartesiano de dois conjuntos finitos, chamados A e B, que têm, respectivamente, e elementos. Nosso objetivo é mostrar que o produto cartesiano tem exatamente elementos. Para isso, vamos precisar entender o que é produto cartesiano e como contar os elementos desse produto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto cartesiano. O produto cartesiano é o conjunto de todos os pares ordenados onde o primeiro elemento vem de A e o segundo de B. Ou seja:
Isso significa que para cada elemento em A, vamos combinar com cada elemento em B para formar um par.

Passo 3

Agora, vamos contar quantos pares diferentes podemos formar. Se o conjunto A tem elementos, isso significa que temos opções para o primeiro elemento do par. Da mesma forma, com elementos em B, temos opções para o segundo elemento do par.

Passo 4

Para cada um dos elementos de A, ele pode ser combinado com cada um dos elementos de B. Então, para o primeiro elemento de A, temos pares. Como temos elementos em A, multiplicamos o número de opções de A pelo número de opções de B:
Isso nos dá o total de pares possíveis no produto cartesiano .

Resposta

Portanto, o produto cartesiano tem elementos.

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Prove a fórmula do Binômio de Newton: Sejam , então para todo vale
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Um subconjunto se diz limitado se existe tal que para todo . Se adicionalmente tem-se que dizemos que é o elemento máximo de . Com estas definições prove que as seguintes afirmações são equivalentes:
(a) é finito;
(b) é limitado;
© tem elemento máximo.