Sejam
e
dois conjuntos finitos de
e
elementos, mostre que
tem
elementos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre produto cartesiano de dois conjuntos finitos, chamados A e B, que têm, respectivamente,
e
elementos. Nosso objetivo é mostrar que o produto cartesiano
tem exatamente
elementos. Para isso, vamos precisar entender o que é produto cartesiano e como contar os elementos desse produto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto cartesiano. O produto cartesiano
é o conjunto de todos os pares ordenados onde o primeiro elemento vem de A e o segundo de B. Ou seja:
Isso significa que para cada elemento em A, vamos combinar com cada elemento em B para formar um par.
Passo 3
Agora, vamos contar quantos pares diferentes podemos formar. Se o conjunto A tem
elementos, isso significa que temos
opções para o primeiro elemento do par. Da mesma forma, com
elementos em B, temos
opções para o segundo elemento do par.
Passo 4
Para cada um dos
elementos de A, ele pode ser combinado com cada um dos
elementos de B. Então, para o primeiro elemento de A, temos
pares. Como temos
elementos em A, multiplicamos o número de opções de A pelo número de opções de B:
Isso nos dá o total de pares possíveis no produto cartesiano
.
Resposta
Portanto, o produto cartesiano
tem
elementos.
Exercícios relacionados
Seja
. Mostre que
Prove a fórmula do Binômio de Newton: Sejam
, então para todo
vale
Prove que todo número racional pode ser escrito da forma
.
Um subconjunto
se diz limitado se existe
tal que
para todo
. Se adicionalmente tem-se que
dizemos que
é o elemento máximo de
. Com estas definições prove que as seguintes afirmações são equivalentes:
(a) é finito;
(b) é limitado;
© tem elemento máximo.
(a)
(b)
©