Usando as definições de soma e produto em Z, prove as seguintes propriedades:
(a) A soma é comutativa;
(b) A soma é associativa;
© O produto é comutativo;
(d) O produto é associativo;
(e) Vale a propriedade distributiva: m(m1+m2)=m m1+m m2;
(f) Valem as propriedades de cancelamento:
& m1+m=m2+m Rightarrow m1=m2 & m1 m=m2 m(m neq 0) Rightarrow m1=m2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que provar algumas propriedades sobre soma e produto nos números inteiros, . Para isso, vamos precisar usar as definições básicas de soma e produto e algumas regras da álgebra. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos provar que a soma é comutativa, ou seja, para quaisquer inteiros e . Isso significa que a ordem dos números não altera o resultado da soma.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que a soma é associativa: para quaisquer inteiros , e . Isso quer dizer que a maneira como agrupamos os números não muda o resultado da soma.

Passo 4

Em seguida, vamos provar que o produto é comutativo, ou seja, . Assim como na soma, a ordem dos fatores não altera o produto.

Passo 5

Depois, vamos mostrar que o produto é associativo: . Isso significa que o agrupamento dos fatores não afeta o resultado do produto.

Passo 6

Agora, vamos verificar a propriedade distributiva: . Isso mostra como a multiplicação distribui sobre a soma.

Passo 7

Por último, vamos provar as propriedades de cancelamento:
  1. Se , então .
  2. Se e , então .

Resposta

Com isso, provamos todas as propriedades solicitadas:
a) A soma é comutativa.
b) A soma é associativa.
c) O produto é comutativo.
d) O produto é associativo.
e) A propriedade distributiva vale: & m1 + m = m2 + m Rightarrow m1 = m2 & m1 times m = m2 times m (m neq 0) Rightarrow m1 = m2 .
f) Valem as propriedades de cancelamento:

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