Usando as definições de soma e produto em
, prove as seguintes propriedades:
(a) A soma é comutativa;
(b) A soma é associativa;
© O produto é comutativo;
(d) O produto é associativo;
(e) Vale a propriedade distributiva:
;
(f) Valem as propriedades de cancelamento:
(a) A soma é comutativa;
(b) A soma é associativa;
© O produto é comutativo;
(d) O produto é associativo;
(e) Vale a propriedade distributiva:
(f) Valem as propriedades de cancelamento:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que provar algumas propriedades sobre soma e produto nos números inteiros,
. Para isso, vamos precisar usar as definições básicas de soma e produto e algumas regras da álgebra. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos provar que a soma é comutativa, ou seja,
para quaisquer inteiros
e
. Isso significa que a ordem dos números não altera o resultado da soma.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que a soma é associativa:
para quaisquer inteiros
,
e
. Isso quer dizer que a maneira como agrupamos os números não muda o resultado da soma.
Passo 4
Em seguida, vamos provar que o produto é comutativo, ou seja,
. Assim como na soma, a ordem dos fatores não altera o produto.
Passo 5
Depois, vamos mostrar que o produto é associativo:
. Isso significa que o agrupamento dos fatores não afeta o resultado do produto.
Passo 6
Agora, vamos verificar a propriedade distributiva:
. Isso mostra como a multiplicação distribui sobre a soma.
Passo 7
Por último, vamos provar as propriedades de cancelamento:
- Se
, então . - Se
e , então .
Resposta
Com isso, provamos todas as propriedades solicitadas:
a) A soma é comutativa.
b) A soma é associativa.
c) O produto é comutativo.
d) O produto é associativo.
e) A propriedade distributiva vale: .
f) Valem as propriedades de cancelamento:
a) A soma é comutativa.
b) A soma é associativa.
c) O produto é comutativo.
d) O produto é associativo.
e) A propriedade distributiva vale:
f) Valem as propriedades de cancelamento:
Exercícios relacionados
está bem definido.
Sabendo que
, mostre as seguintes caracterizações em
:
(a) ,
(b) ,
© .
(a)
(b)
©
Prove a fórmula do Binômio de Newton: Sejam
, então para todo
vale
Seja
. Mostre que