star Prove que o produto em Z,
[(n * r + m * s, n * s + r * m)]
está bem definido.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para provar que o produto definido em Z, dado por
está bem definido. Isso faz parte do estudo de Álgebra, especificamente trabalhando com classes de equivalência e operações em conjuntos quocientes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma operação estar “bem definida” no contexto de classes de equivalência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma classe de equivalência. Duas pares e são considerados equivalentes se satisfazem uma certa relação de equivalência. Para a operação estar bem definida, precisamos garantir que o resultado do produto não dependa de qual representante de cada classe escolhemos.

Passo 3

Então, assumimos que é equivalente a e é equivalente a . Queremos mostrar que
Isso significa que o produto das classes deve ser a mesma, independentemente dos representantes escolhidos.

Passo 4

Calculamos ambos os produtos:
e
Precisamos mostrar que é equivalente a .

Passo 5

Considerando que é equivalente a e é equivalente a , aplicamos a definição de equivalência para mostrar que as combinações lineares também são equivalentes. Isso envolve provar que as operações de multiplicação e adição preservam a equivalência.

Passo 6

Ao expandir e simplificar as expressões, verificamos que as combinações e realmente satisfazem a relação de equivalência definida. Portanto, o produto não depende dos representantes escolhidos.

Resposta

Assim, provamos que o produto definido em Z está bem definido.

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