Prove que o produto em ,
está bem definido.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para provar que o produto definido em , dado por
está bem definido. Isso faz parte do estudo de Álgebra, especificamente trabalhando com classes de equivalência e operações em conjuntos quocientes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma operação estar “bem definida” no contexto de classes de equivalência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma classe de equivalência. Duas pares e são considerados equivalentes se satisfazem uma certa relação de equivalência. Para a operação estar bem definida, precisamos garantir que o resultado do produto não dependa de qual representante de cada classe escolhemos.

Passo 3

Então, assumimos que é equivalente a e é equivalente a . Queremos mostrar que
Isso significa que o produto das classes deve ser a mesma, independentemente dos representantes escolhidos.

Passo 4

Calculamos ambos os produtos:
e
Precisamos mostrar que é equivalente a .

Passo 5

Considerando que é equivalente a e é equivalente a , aplicamos a definição de equivalência para mostrar que as combinações lineares também são equivalentes. Isso envolve provar que as operações de multiplicação e adição preservam a equivalência.

Passo 6

Ao expandir e simplificar as expressões, verificamos que as combinações e realmente satisfazem a relação de equivalência definida. Portanto, o produto não depende dos representantes escolhidos.

Resposta

Assim, provamos que o produto definido em está bem definido.

Exercícios relacionados

Sabendo que , mostre as seguintes caracterizações em :
(a) ,
(b) ,
© .
Seja . Mostre que não existe número natural tal que .
Usando as definições de soma e produto em , prove as seguintes propriedades:
(a) A soma é comutativa;
(b) A soma é associativa;
© O produto é comutativo;
(d) O produto é associativo;
(e) Vale a propriedade distributiva: ;
(f) Valem as propriedades de cancelamento:
Prove a fórmula do Binômio de Newton: Sejam , então para todo vale