Prove que o produto em
,
está bem definido.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para provar que o produto definido em
, dado por
está bem definido. Isso faz parte do estudo de Álgebra, especificamente trabalhando com classes de equivalência e operações em conjuntos quocientes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma operação estar “bem definida” no contexto de classes de equivalência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma classe de equivalência. Duas pares
e
são considerados equivalentes se satisfazem uma certa relação de equivalência. Para a operação estar bem definida, precisamos garantir que o resultado do produto não dependa de qual representante de cada classe escolhemos.
Passo 3
Então, assumimos que
é equivalente a
e
é equivalente a
. Queremos mostrar que
Isso significa que o produto das classes deve ser a mesma, independentemente dos representantes escolhidos.
Passo 4
Calculamos ambos os produtos:
e
Precisamos mostrar que
é equivalente a
.
Passo 5
Considerando que
é equivalente a
e
é equivalente a
, aplicamos a definição de equivalência para mostrar que as combinações lineares também são equivalentes. Isso envolve provar que as operações de multiplicação e adição preservam a equivalência.
Passo 6
Ao expandir e simplificar as expressões, verificamos que as combinações
e
realmente satisfazem a relação de equivalência definida. Portanto, o produto não depende dos representantes escolhidos.
Resposta
Assim, provamos que o produto definido em
está bem definido.
Exercícios relacionados
Sabendo que
, mostre as seguintes caracterizações em
:
(a) ,
(b) ,
© .
(a)
(b)
©
Seja
. Mostre que não existe número natural
tal que
.
Usando as definições de soma e produto em
, prove as seguintes propriedades:
(a) A soma é comutativa;
(b) A soma é associativa;
© O produto é comutativo;
(d) O produto é associativo;
(e) Vale a propriedade distributiva: ;
(f) Valem as propriedades de cancelamento:
(a) A soma é comutativa;
(b) A soma é associativa;
© O produto é comutativo;
(d) O produto é associativo;
(e) Vale a propriedade distributiva:
(f) Valem as propriedades de cancelamento:
Prove a fórmula do Binômio de Newton: Sejam
, então para todo
vale