Usando os limites fundamentais:
calcule:
(f) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O exercício é sobre calcular o limite quando se aproxima de 0 na expressão . Estamos lidando com Cálculo de Limites, especificamente usando limites fundamentais que envolvem funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar lembrar que:
E também que:
Essas informações vão nos ajudar a simplificar e calcular o limite passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão usando a definição de cotangente:
Então, nossa expressão original fica:

Passo 3

Agora, vamos separar as funções para facilitar o cálculo do limite:
Perceba que podemos reescrever como . Assim, a expressão fica:

Passo 4

Sabemos que:
Além disso, , e para próximo de 0, .
Substituindo essas aproximações na expressão, temos:

Passo 5

Agora, analisando o comportamento de quando se aproxima de 0, percebemos que o denominador está indo para 0, o que faz com que toda a expressão cresça sem limites.

Resposta

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Determine , quando:
(d) .
Determine os seguintes limites:
(d)
Usando os limites fundamentais:
calcule:
(l) .
Prove que a função dada é contínua no conjunto dado.