Prove que se uma função é derivável em um ponto, então é contínua neste ponto. (feito em sala de aula)
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: queremos provar que se uma função é derivável em um ponto, então ela é contínua nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender o que significam ser derivável e ser contínua, além de usar as definições formais dessas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser derivável em
. Dizemos que a função
é derivável nesse ponto se o limite abaixo existe:
Isso basicamente mede a taxa de variação da função em torno de
.
Passo 3
Agora, vamos relembrar a definição de continuidade em
. A função
é contínua nesse ponto se:
Ou seja, o valor da função em
é igual ao limite da função quando
se aproxima de
.
Passo 4
Vamos usar a definição de derivabilidade para mostrar que
é contínua em
. Sabemos que:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Passo 5
Com isso, podemos escrever:
O que mostra que o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
, ou seja,
é contínua em
.
Resposta
Portanto, se a função
é derivável em
, então ela é contínua nesse ponto.
Exercícios relacionados
Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
(g) Seja , calcule
e
.
(g) Seja
Suponha que a trajetória de uma partícula
seja dada por
e que a trajetória de uma partícula
seja dada por
.
As trajetórias das duas partículas se encontram? As duas partículas colidem?
As trajetórias das duas partículas se encontram? As duas partículas colidem?
Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
(b) Seja , calcule
e
(b) Seja
Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
(e) Seja , calcule
e
(e) Seja