Prove que se uma função é derivável em um ponto, então é contínua neste ponto. (feito em sala de aula)

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: queremos provar que se uma função é derivável em um ponto, então ela é contínua nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender o que significam ser derivável e ser contínua, além de usar as definições formais dessas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser derivável em . Dizemos que a função é derivável nesse ponto se o limite abaixo existe:
Isso basicamente mede a taxa de variação da função em torno de .

Passo 3

Agora, vamos relembrar a definição de continuidade em . A função é contínua nesse ponto se:
Ou seja, o valor da função em é igual ao limite da função quando se aproxima de .

Passo 4

Vamos usar a definição de derivabilidade para mostrar que é contínua em . Sabemos que:
Multiplicando ambos os lados por , temos:

Passo 5

Com isso, podemos escrever:
O que mostra que o limite de quando se aproxima de é igual a , ou seja, é contínua em .

Resposta

Portanto, se a função é derivável em , então ela é contínua nesse ponto.

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