Sejam
f(x)=cl -x, & se x<0 1, & se 0 <= x , g(x)=cc 1, & se x<0 x, & se 0 <= x
Prove que f e g são ambas descontínuas em 0 , mas o produto f g é contínua em 0 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para analisar duas funções, e , definidas por partes. Precisamos mostrar que ambas são descontínuas em , mas que o produto delas, , é contínuo nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua ou descontínua em um ponto e como calcular limites laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são as funções f(x) = -x, & se x < 0 1, & se x >= 0 e g(x) = 1, & se x < 0 x, & se x >= 0 .
A função é definida assim:
E a função é:
Vamos analisar a continuidade dessas funções em .

Passo 3

Para uma função ser contínua em um ponto, o limite quando limx to 0^- f(x) = limx to 0^+ f(x) = f(0) se aproxima desse ponto deve existir e ser igual ao valor da função naquele ponto. Ou seja:
Vamos verificar isso para .

Passo 4

Analisando limx to 0^- f(x) = limx to 0^- (-x) = 0 :
  • Quando limx to 0^+ f(x) = 1 se aproxima de 0 pela esquerda ( ), . Então:
  • Quando se aproxima de 0 pela direita ( ), . Então:
  • O valor de .
Como e são diferentes, a função é descontínua em 0.

Passo 5

Agora, vamos analisar g(x) = 1, & se x < 0 x, & se x >= 0 :
limx to 0^- g(x) = 1
  • Quando limx to 0^+ g(x) = 0 se aproxima de 0 pela esquerda ( ), . Então:
  • Quando se aproxima de 0 pela direita ( ), . Então:
  • O valor de .
Como e são diferentes, a função também é descontínua em 0.

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto f(x) cdot g(x) = (-x) cdot 1 = -x, & se x < 0 1 cdot x = x, & se x >= 0 :
f(x) cdot g(x) = -x, & se x < 0 x, & se x >= 0
Então, a função fica:

Passo 7

Vamos verificar a continuidade de limx to 0^- f(x) cdot g(x) = limx to 0^- (-x) = 0 em 0.
  • Quando limx to 0^+ f(x) cdot g(x) = limx to 0^+ x = 0 se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
  • Quando se aproxima de 0 pela direita ( ):
  • O valor de
Como os limites laterais são iguais e também iguais ao valor da função em 0, a função é contínua em 0.

Resposta

Portanto, ambas as funções e são descontínuas em 0, mas o produto é contínuo em 0.

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