Sejam
Prove que
e
são ambas descontínuas em 0 , mas o produto
é contínua em 0 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para analisar duas funções,
e
, definidas por partes. Precisamos mostrar que ambas são descontínuas em
, mas que o produto delas,
, é contínuo nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua ou descontínua em um ponto e como calcular limites laterais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são as funções
e
.
A função
é definida assim:
E a função
é:
Vamos analisar a continuidade dessas funções em
.
Passo 3
Para uma função ser contínua em um ponto, o limite quando
se aproxima desse ponto deve existir e ser igual ao valor da função naquele ponto. Ou seja:
Vamos verificar isso para
.
Passo 4
Analisando
:
- Quando
se aproxima de 0 pela esquerda ( ), . Então:
- Quando
se aproxima de 0 pela direita ( ), . Então:
- O valor de
.
Como
e
são diferentes, a função
é descontínua em 0.
Passo 5
Agora, vamos analisar
:
- Quando
se aproxima de 0 pela esquerda ( ), . Então:
- Quando
se aproxima de 0 pela direita ( ), . Então:
- O valor de
.
Como
e
são diferentes, a função
também é descontínua em 0.
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto
:
Então, a função
fica:
Passo 7
Vamos verificar a continuidade de
em 0.
- Quando
se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
- Quando
se aproxima de 0 pela direita ( ):
- O valor de
Como os limites laterais são iguais e também iguais ao valor da função em 0, a função
é contínua em 0.
Resposta
Portanto, ambas as funções
e
são descontínuas em 0, mas o produto
é contínuo em 0.