Prove que todo número racional pode ser escrito da forma .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos provar que todo número racional pode ser escrito na forma , onde é um número inteiro ( ) e é um número natural positivo ( ). Para isso, vamos precisar conhecer a definição de número racional e como ele pode ser representado como uma fração.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que é um número racional. Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como o quociente de dois inteiros, ou seja, , onde e são inteiros e .

Passo 3

Agora, vamos considerar que, na forma , o denominador pode ser positivo ou negativo. No entanto, podemos sempre multiplicar o numerador e o denominador por se o denominador for negativo, para tornar positivo. Por exemplo, .

Passo 4

Assim, qualquer número racional pode ser reescrito como , onde ou e , garantindo que seja sempre um número natural positivo.

Resposta

Portanto, demonstramos que todo número racional pode ser escrito na forma , com e .

Exercícios relacionados

Sejam e dois conjuntos finitos de e elementos, mostre que tem elementos.
Seja . Mostre que
Um subconjunto se diz limitado se existe tal que para todo . Se adicionalmente tem-se que dizemos que é o elemento máximo de . Com estas definições prove que as seguintes afirmações são equivalentes:
(a) é finito;
(b) é limitado;
© tem elemento máximo.
Prove que a função introduzida na demonstração do Teorema 1.6.8 satisfaz: para todo .