Prove que todo número racional pode ser escrito da forma
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos provar que todo número racional pode ser escrito na forma
, onde
é um número inteiro (
) e
é um número natural positivo (
). Para isso, vamos precisar conhecer a definição de número racional e como ele pode ser representado como uma fração.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que é um número racional. Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como o quociente de dois inteiros, ou seja,
, onde
e
são inteiros e
.
Passo 3
Agora, vamos considerar que, na forma
, o denominador
pode ser positivo ou negativo. No entanto, podemos sempre multiplicar o numerador e o denominador por
se o denominador for negativo, para tornar
positivo. Por exemplo,
.
Passo 4
Assim, qualquer número racional
pode ser reescrito como
, onde
ou
e
, garantindo que
seja sempre um número natural positivo.
Resposta
Portanto, demonstramos que todo número racional pode ser escrito na forma
, com
e
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
dois conjuntos finitos de
e
elementos, mostre que
tem
elementos.
Seja
. Mostre que
Um subconjunto
se diz limitado se existe
tal que
para todo
. Se adicionalmente tem-se que
dizemos que
é o elemento máximo de
. Com estas definições prove que as seguintes afirmações são equivalentes:
(a) é finito;
(b) é limitado;
© tem elemento máximo.
(a)
(b)
©
Prove que a função
introduzida na demonstração do Teorema 1.6.8 satisfaz:
para todo
.