Prove a identidade:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que provar a seguinte identidade trigonométrica:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer as definições das funções trigonométricas seno (
) e tangente (
), além de manipular frações algébricas.
Passo 2
Vamos começar simplificando o lado esquerdo da identidade:
Sabemos que a tangente pode ser expressa em termos de seno e cosseno:
Substituindo isso na expressão:
Passo 3
Agora, vamos simplificar o numerador:
Passo 4
Simplificando o denominador da expressão original:
Passo 5
Substituindo as simplificações no lado esquerdo da identidade:
Passo 6
Agora, vamos simplificar o lado direito da identidade:
Substituindo
:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Passo 8
Observamos que:
Para verificar, vamos multiplicar numerador e denominador do lado esquerdo por
:
Sabendo que
, temos:
Isso confirma que ambos os lados da identidade são iguais.
Resposta
Portanto, as duas expressões são iguais, comprovando a identidade:
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Reduza ao
quadrante:
Reduza ao
quadrante:
a)
a)
Dê o domínio das funções:
Resolva as equações: