Prove a identidade: tg x-sen xtg x cdot sen x=tg x cdot sen xtg x+sen x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que provar a seguinte identidade trigonométrica:
tg x - sen xtg x cdot sen x = tg x cdot sen xtg x + sen x
Para resolver isso, vamos precisar conhecer as definições das funções trigonométricas seno ( ) e tangente ( ), além de manipular frações algébricas.

Passo 2

Vamos começar simplificando o lado esquerdo da identidade:
tg x - sen xtg x cdot sen x
Sabemos que a tangente pode ser expressa em termos de seno e cosseno:
tg x = sen xcos x
Substituindo isso na expressão:
sen xcos x - sen xsen xcos x cdot sen x

Passo 3

Agora, vamos simplificar o numerador:
sen xcos x - sen x = sen x - sen x cdot cos xcos x = sen x (1 - cos x)cos x

Passo 4

Simplificando o denominador da expressão original:
sen xcos x cdot sen x = sen^2 xcos x

Passo 5

Substituindo as simplificações no lado esquerdo da identidade:
sen x (1 - cos x)cos xsen^2 xcos x = sen x (1 - cos x)sen^2 x = 1 - cos xsen x

Passo 6

Agora, vamos simplificar o lado direito da identidade:
tg x cdot sen xtg x + sen x
Substituindo sen xcos x cdot sen xsen xcos x + sen x = sen^2 xcos xsen x (1 + cos x)cos x:

Passo 7

Simplificando a expressão:
sen^2 xsen x (1 + cos x) = sen x1 + cos x

Passo 8

Observamos que:
1 - cos xsen x = sen x1 + cos x
Para verificar, vamos multiplicar numerador e denominador do lado esquerdo por (1 - cos x)(1 + cos x)sen x (1 + cos x) = 1 - cos^2 xsen x (1 + cos x):
sen^2 xsen x (1 + cos x) = sen x1 + cos x
Sabendo que , temos:
Isso confirma que ambos os lados da identidade são iguais.

Resposta

Portanto, as duas expressões são iguais, comprovando a identidade:
tg x - sen xtg x cdot sen x = tg x cdot sen xtg x + sen x

Exercícios relacionados