Prove a identidade:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que provar a seguinte identidade trigonométrica:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer as definições das funções trigonométricas seno ( ) e tangente ( ), além de manipular frações algébricas.

Passo 2

Vamos começar simplificando o lado esquerdo da identidade:
Sabemos que a tangente pode ser expressa em termos de seno e cosseno:
Substituindo isso na expressão:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o numerador:

Passo 4

Simplificando o denominador da expressão original:

Passo 5

Substituindo as simplificações no lado esquerdo da identidade:

Passo 6

Agora, vamos simplificar o lado direito da identidade:
Substituindo :

Passo 7

Simplificando a expressão:

Passo 8

Observamos que:
Para verificar, vamos multiplicar numerador e denominador do lado esquerdo por :
Sabendo que , temos:
Isso confirma que ambos os lados da identidade são iguais.

Resposta

Portanto, as duas expressões são iguais, comprovando a identidade:

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Reduza ao quadrante:
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a)
Dê o domínio das funções:
Resolva as equações: