(Teorema de Pitágoras). Prove que, lang<= u, vrang<==0 se, e somente se, |u+v|^2=|u|^2+|v|^2, onde |u|:=raizlang<= u, urang<=.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar o Teorema de Pitágoras em um contexto mais geral. Ou seja, queremos mostrar que o produto interno de dois vetores e é zero ( ) se, e somente se, a norma do vetor resultante da soma deles ao quadrado é igual à soma das normas ao quadrado dos vetores individuais ( ). Para resolver isso, vamos precisar entender o que são produto interno e norma, e como eles se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto interno. O produto interno entre dois vetores e é uma maneira de generalizar o conceito de ângulo entre vetores. Se , dizemos que os vetores são ortogonais, ou seja, estão “perpendiculares” entre si.

Passo 3

Agora, sobre a norma de um vetor. A norma de um vetor é definida como . Ela basicamente mede o “tamanho” ou “comprimento” do vetor.

Passo 4

Vamos calcular |u + v|^2 = lang<= u + v, u + v rang<= . Pelo definição da norma:
|u + v|^2 = lang<= u, u rang<= + lang<= u, v rang<= + lang<= v, u rang<= + lang<= v, v rang<=
Expandindo o produto interno:
|u + v|^2 = |u|^2 + 2lang<= u, v rang<= + |v|^2
Como o produto interno é comutativo ( ):

Passo 5

Agora, queremos que |u + v|^2 = |u|^2 + 2lang<= u, v rang<= + |v|^2 . Comparando com a expressão que encontramos:
2lang<= u, v rang<= = 0 implies lang<= u, v rang<= = 0
Para que essas duas equações sejam iguais, precisamos que o termo seja igual a zero:

Passo 6

Assim, mostramos que é uma condição necessária e suficiente para que . Ou seja, os vetores são ortogonais se e somente se essa igualdade de normas ao quadrado for válida.

Resposta

Portanto, provamos que se, e somente se, .

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