(Teorema de Pitágoras). Prove que,
se, e somente se,
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar o Teorema de Pitágoras em um contexto mais geral. Ou seja, queremos mostrar que o produto interno de dois vetores
e
é zero (
) se, e somente se, a norma do vetor resultante da soma deles ao quadrado é igual à soma das normas ao quadrado dos vetores individuais (
). Para resolver isso, vamos precisar entender o que são produto interno e norma, e como eles se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto interno. O produto interno
entre dois vetores
e
é uma maneira de generalizar o conceito de ângulo entre vetores. Se
, dizemos que os vetores são ortogonais, ou seja, estão “perpendiculares” entre si.
Passo 3
Agora, sobre a norma de um vetor. A norma
de um vetor
é definida como
. Ela basicamente mede o “tamanho” ou “comprimento” do vetor.
Passo 4
Vamos calcular
. Pelo definição da norma:
Expandindo o produto interno:
Como o produto interno é comutativo (
):
Passo 5
Agora, queremos que
. Comparando com a expressão que encontramos:
Para que essas duas equações sejam iguais, precisamos que o termo
seja igual a zero:
Passo 6
Assim, mostramos que
é uma condição necessária e suficiente para que
. Ou seja, os vetores são ortogonais se e somente se essa igualdade de normas ao quadrado for válida.
Resposta
Portanto, provamos que
se, e somente se,
.