Sendo , calcule o ângulo e a distância entre as funções .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o ângulo e a distância entre duas funções e no espaço , que é o conjunto de todas as funções contínuas no intervalo de a . Para isso, vamos usar conceitos de espaço vetorial com produto interno, como encontrar o ângulo entre vetores e a distância entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como encontrar o produto interno entre as duas funções. No espaço de funções contínuas, o produto interno é definido como:
Isso significa que vamos multiplicar as duas funções e integrar o resultado de 0 a .

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto interno :
Sabemos que , então a integral se torna:
A integral de ao longo de um período completo é zero, então:

Passo 4

Agora, vamos calcular as normas das funções e . A norma de uma função é dada por:
Vamos calcular e :
Para :
Para :

Passo 5

Com o produto interno e as normas calculadas, podemos achar o ângulo entre as funções usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Para achar , usamos o arco cosseno:
Isso significa que o ângulo entre as funções e é de , ou seja, elas são ortogonais.

Passo 6

Agora, vamos calcular a distância entre as funções e . A distância é dada pela norma da diferença das funções:
Vamos desenvolver a expressão dentro da integral:
Sabemos que e que a integral de de 0 a é zero, então:
Portanto:

Resposta

O ângulo entre as funções e é radianos (ou 90 graus) e a distância entre elas é .

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