Sendo
, calcule o ângulo e a distância entre as funções
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o ângulo e a distância entre duas funções
e
no espaço
, que é o conjunto de todas as funções contínuas no intervalo de
a
. Para isso, vamos usar conceitos de espaço vetorial com produto interno, como encontrar o ângulo entre vetores e a distância entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como encontrar o produto interno entre as duas funções. No espaço de funções contínuas, o produto interno é definido como:
Isso significa que vamos multiplicar as duas funções e integrar o resultado de 0 a
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto interno
:
Sabemos que
, então a integral se torna:
A integral de
ao longo de um período completo é zero, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular as normas das funções
e
. A norma de uma função é dada por:
Vamos calcular
e
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Com o produto interno e as normas calculadas, podemos achar o ângulo
entre as funções usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Para achar
, usamos o arco cosseno:
Isso significa que o ângulo entre as funções
e
é de
, ou seja, elas são ortogonais.
Passo 6
Agora, vamos calcular a distância entre as funções
e
. A distância é dada pela norma da diferença das funções:
Vamos desenvolver a expressão dentro da integral:
Sabemos que
e que a integral de
de 0 a
é zero, então:
Portanto:
Resposta
O ângulo entre as funções
e
é
radianos (ou 90 graus) e a distância entre elas é
.
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, calcule: O ponto de abscissa 2 e cuja ordenada é o dobro da cota;
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se, e somente se,
, onde
.
Sejam
e
subespaços de
um espaço vetorial sobre um corpo
. Mostre que
é subespaço de
se, e somente se,
ou
.