Sendo f, g in V=C([0,2 pi]), calcule o ângulo e a distância entre as funções f(x)=sin (x) e g(x)=cos (x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o ângulo e a distância entre duas funções e no espaço , que é o conjunto de todas as funções contínuas no intervalo de a . Para isso, vamos usar conceitos de espaço vetorial com produto interno, como encontrar o ângulo entre vetores e a distância entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como encontrar o produto interno entre as duas funções. No espaço de funções contínuas, o produto interno é definido como:
lang<= f, g rang<= = integral0^2pi f(x)g(x) , dx
Isso significa que vamos multiplicar as duas funções e integrar o resultado de 0 a .

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto interno lang<= sin(x), cos(x) rang<= = integral0^2pi sin(x)cos(x) , dx :
12 integral0^2pi sin(2x) , dx
Sabemos que lang<= sin(x), cos(x) rang<= = 0 , então a integral se torna:
A integral de ao longo de um período completo é zero, então:

Passo 4

Agora, vamos calcular as normas das funções |f| = raizlang<= f, f rang<= = raizintegral0^2pi [f(x)]^2 , dx e |f| = raizintegral0^2pi sin^2(x) , dx = raizpi . A norma de uma função é dada por:
|g| = raizintegral0^2pi cos^2(x) , dx = raizpi
Vamos calcular e :
Para :
Para :

Passo 5

Com o produto interno e as normas calculadas, podemos achar o ângulo cos(theta) = lang<= f, g rang<=|f| |g| entre as funções usando a fórmula:
cos(theta) = 0raizpi cdot raizpi = 0
Substituindo os valores:
theta = arccos(0) = pi2 radianos
Para achar , usamos o arco cosseno:
Isso significa que o ângulo entre as funções e é de , ou seja, elas são ortogonais.

Passo 6

Agora, vamos calcular a distância entre as funções d(f, g) = |f - g| = raizintegral0^2pi [f(x) - g(x)]^2 , dx e [f(x) - g(x)]^2 = sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) + cos^2(x) . A distância é dada pela norma da diferença das funções:
integral0^2pi [f(x) - g(x)]^2 , dx = integral0^2pi 1 , dx = 2pi
Vamos desenvolver a expressão dentro da integral:
d(f, g) = raiz2pi
Sabemos que e que a integral de de 0 a é zero, então:
Portanto:

Resposta

O ângulo entre as funções e é radianos (ou 90 graus) e a distância entre elas é .

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