Prove as igualdades abaixo: sumn=1^infty 23^n-1=3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que a soma infinita é igual a 3. Para resolver isso, vamos usar o que aprendemos sobre séries geométricas, que são somas de termos que aumentam ou diminuem de forma constante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão da série: 23^n-1 = 2 times ( 13 )^n-1 . Aqui, cada termo da série é dado por . Podemos reescrever isso para facilitar nossa análise:
Isso mostra que a série é uma série geométrica com primeiro termo (quando ) e razão .

Passo 3

Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita é dada pela fórmula:
S = a1 - r
onde é o primeiro termo e é a razão da série. Mas essa fórmula só é válida se , o que é verdadeiro aqui, já que e .

Passo 4

Aplicando os valores na fórmula:
S = 21 - 13 = 223 = 2 times 32 = 3

Resposta

Portanto, .

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