Prove as igualdades a seguir por indução. Em cada caso, é um inteiro positivo.
.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa provar uma desigualdade usando indução matemática. A desigualdade é a seguinte:
Aqui, é um número inteiro positivo. Para resolver isso, vamos usar o método de indução matemática, que envolve dois passos principais: a base da indução e o passo indutivo.

Passo 2

Base da Indução: Vamos verificar se a desigualdade funciona para .
Substituindo na expressão do lado esquerdo:
No lado direito:
Então, para , temos:
O que é verdadeiro, já que é igual a .

Passo 3

Hipótese de Indução: Agora, vamos assumir que a desigualdade é verdadeira para algum número positivo, ou seja,
Essa suposição é nossa base para provar que a desigualdade também vale para .

Passo 4

Passo Indutivo: Precisamos mostrar que, se a desigualdade vale para , então ela também vale para . Vamos multiplicar o lado esquerdo da hipótese por :
Pela hipótese de indução, sabemos que:
Portanto,
Vamos simplificar essa expressão:
Simplificando ainda mais:
Observamos que:
Portanto,
Isso mostra que a desigualdade também vale para .

Resposta

Pelo princípio da indução matemática, a desigualdade é verdadeira para todo número inteiro positivo . Portanto,

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Seja e, para .
Quais são os cinco primeiros termos da sequência ?
Prove que .
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