Prove as igualdades a seguir por indução. Em cada caso,
é um inteiro positivo.
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa provar uma desigualdade usando indução matemática. A desigualdade é a seguinte:
Aqui,
é um número inteiro positivo. Para resolver isso, vamos usar o método de indução matemática, que envolve dois passos principais: a base da indução e o passo indutivo.
Passo 2
Base da Indução: Vamos verificar se a desigualdade funciona para
.
Substituindo
na expressão do lado esquerdo:
No lado direito:
Então, para
, temos:
O que é verdadeiro, já que
é igual a
.
Passo 3
Hipótese de Indução: Agora, vamos assumir que a desigualdade é verdadeira para algum número
positivo, ou seja,
Essa suposição é nossa base para provar que a desigualdade também vale para
.
Passo 4
Passo Indutivo: Precisamos mostrar que, se a desigualdade vale para
, então ela também vale para
. Vamos multiplicar o lado esquerdo da hipótese por
:
Pela hipótese de indução, sabemos que:
Portanto,
Vamos simplificar essa expressão:
Simplificando ainda mais:
Observamos que:
Portanto,
Isso mostra que a desigualdade também vale para
.
Resposta
Pelo princípio da indução matemática, a desigualdade é verdadeira para todo número inteiro positivo
. Portanto,
Exercícios relacionados
As seguintes sequências de números são definidas por recorrência. Responda às questões formuladas.
Seja e, para
.
Quais são os cinco primeiros termos da sequência ?
Prove que .
Seja
Quais são os cinco primeiros termos da sequência
Prove que
Prove as igualdades a seguir por indução. Em cada caso,
é um inteiro positivo.
Nos problemas 1 a 31, diferencie cada função aplicando as regras básicas para diferenciação.
As seguintes sequências de números são definidas por recorrência. Responda às questões formuladas.
Denote por o
-ésimo número de Finonacci. Prove:
Denote por