Prove por indução as desigualdades
b)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai provar por indução matemática que a desigualdade
é verdadeira para todo número inteiro
que seja maior ou igual a 3. Para isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma técnica poderosa para demonstrar que uma afirmação vale para todos os números naturais a partir de um certo ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a base da indução, ou seja, vamos testar se a desigualdade funciona para
.
Substituindo na desigualdade:
Então, temos:
Isso é verdade! Portanto, a base da indução está confirmada.
Passo 3
Agora, vamos para o passo indutivo. Vamos supor que a desigualdade seja verdadeira para algum número inteiro
, ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Nosso objetivo é mostrar que, se isso é verdade para
, então também será verdade para
, ou seja:
Vamos simplificar o lado esquerdo:
Agora, olhamos para o lado direito:
Agora, queremos provar que:
Sabemos pela nossa hipótese de indução que
. Vamos usar isso para ajudar na nossa prova.
Note que:
Então, precisamos mostrar que:
Isso é equivalente a:
Subtraindo
de ambos os lados:
Isso é verdade para todo
, já que
quando
.
Portanto, conseguimos mostrar que:
Assim, se a desigualdade vale para
, ela também vale para
.
Resposta
Então, por indução matemática, provamos que
é verdadeira para todo
.
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Utilize o PIF para provar que as propriedades abaixo valem para todo natural
d)
d)
Prove por indução as desigualdades
a)
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Utilize o PIF para provar que as propriedades abaixo valem para todo natural
e)
e)
Encontre uma fórmula para o termo geral
da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.