Prove por indução as desigualdades
b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai provar por indução matemática que a desigualdade é verdadeira para todo número inteiro que seja maior ou igual a 3. Para isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma técnica poderosa para demonstrar que uma afirmação vale para todos os números naturais a partir de um certo ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a base da indução, ou seja, vamos testar se a desigualdade funciona para .
Substituindo na desigualdade:
Então, temos:
Isso é verdade! Portanto, a base da indução está confirmada.

Passo 3

Agora, vamos para o passo indutivo. Vamos supor que a desigualdade seja verdadeira para algum número inteiro , ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Nosso objetivo é mostrar que, se isso é verdade para , então também será verdade para , ou seja:
Vamos simplificar o lado esquerdo:
Agora, olhamos para o lado direito:
Agora, queremos provar que:
Sabemos pela nossa hipótese de indução que . Vamos usar isso para ajudar na nossa prova.
Note que:
Então, precisamos mostrar que:
Isso é equivalente a:
Subtraindo de ambos os lados:
Isso é verdade para todo , já que quando .
Portanto, conseguimos mostrar que:
Assim, se a desigualdade vale para , ela também vale para .

Resposta

Então, por indução matemática, provamos que é verdadeira para todo .

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